Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) \({x^3}-{\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}x\); b) \(2{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}2{y^2}\); c) \(2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}16\). Bài giải: a) \({x^3}-{\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}x({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}x{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\) b) \(2{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}2{y^2} = {\rm{ }}2[({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2}]\) \(= {\rm{ }}2[{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{y^2}]\) \( = {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\) c) \(2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}16{\rm{ }}-{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}){\rm{ }}\) \(= {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}\) \(= (4 – x + y)(4 + x – y)\) Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1. Chứng minh rằng \((5n + 2)^2– 4\) chia hết cho \(5\) với mọi số nguyên \(n\). Bài giải: Ta có : \({(5n + 2)^2} - 4 = {(5n + 2)^2} - {2^2}\) \(= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)\) \(= 5n(5n + 4)\) Vì tích \(5n(5n + 4)\) có chứa \(5\) và \(n\in \mathbb Z\), do đó \(5n(5n + 4)\) \(\vdots\) \(5\) \(∀n ∈\mathbb Z\). Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) \(x^2– 3x + 2\); (Gợi ý: Ta không áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử \(-3x = - x – 2x\) thì ta có \(x^2– 3x + 2 = x^2– x – 2x + 2\) và từ đó dễ dàng phân tích tiếp. Cũng có thể tách \(2 = - 4 + 6\), khi đó ta có \(x^2– 3x + 2 = x^2– 4 – 3x + 6\), từ đó dễ dàng phân tích tiếp) b) \(x^2+ x – 6\); c) \(x^2+ 5x + 6\). Bài giải: a) \(x^2– 3x + 2 = x^2– x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) \) \(= (x - 1)(x - 2)\) Hoặc \(x^2– 3x + 2 = x^2– 3x - 4 + 6\) \(= x^2- 4 - 3x + 6\) \(= (x - 2)(x + 2) - 3(x -2)\) \( = (x - 2)(x + 2 - 3) = (x - 2)(x - 1)\) b) \(x^2+ x – 6\) Tách \(x=3x-2x\) ta được: \(x^2+ x – 6 = x^2+ 3x - 2x – 6\) \(= x(x + 3) - 2(x + 3)\) \(= (x + 3)(x - 2)\). c) \(x^2+ 5x + 6\) Tách \(5x=2x+3x\) ta được: \(x^2+ 5x + 6 = x^2+ 2x + 3x + 6\) \(= x(x + 2) + 3(x + 2)\) \(= (x + 2)(x + 3)\) Bài 54 trang 25 sgk toán 8 tập 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) \({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}-{\rm{ }}9x\); b) \(2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2}\); c) \({x^4}-{\rm{ }}2{x^2}\). Bài giải: a) \({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} = {\rm{ }}x({x^2}{\rm{ }} + 2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}9)\) \(= {\rm{ }}x[({x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}){\rm{ }}-{\rm{ }}9]\) \(= {\rm{ }}x[{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)^2}-{\rm{ }}{3^2}]\) \(= {\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\) b) \(2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2})\) \(= {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}\) \( = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)\left[ {2{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)} \right]\) \(= (x – y)(2 – x + y)\) c) \({x^4}-{\rm{ }}2{x^2} = {\rm{ }}{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right){\rm{ = }}{{\rm{x}}^2}\left( {{x^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right) \) \(={x^2}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\). Bài 55 trang 25 sgk toán 8 tập 1. Tìm \(x\), biết: a) \({x^3} - {1 \over 4}x = 0\); b) \({(2x - 1)^2} - {(x + 3)^2} = 0\); c) \({x^2}(x - 3) + 12 - 4x = 0\). Bài giải: a) \(\eqalign{ & {x^3} - {1 \over 4}x = 0 \Rightarrow x\left( {{x^2} - {1 \over 4}} \right) = 0 \cr & \Rightarrow x\left( {{x^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}} \right) = 0 \cr & \Rightarrow x\left( {x - {1 \over 2}} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr \left( {x - {1 \over 2}} \right) = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2} \hfill \cr \left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \Rightarrow x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(x=0,x={1\over 2},x=-{1\over2}\) b) \(\eqalign{ & {(2x - 1)^2} - {(x + 3)^2} = 0 \cr & \Rightarrow \left[ {(2x - 1) - (x + 3)} \right].\left[ {(2x - 1) + (x + 3)} \right] = 0 \cr & \Rightarrow (2x - 1 - x - 3).(2x - 1 + x + 3) = 0 \cr & \Rightarrow (x - 4).(3x + 2) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ \matrix{ x - 4 = 0 \hfill \cr 3x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ x = 4 \hfill \cr x = - {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(x=4,x=-{2\over 3}\) c) \(\eqalign{ & {x^2}(x - 3) + 12 - 4x = 0 \cr & \Rightarrow {x^2}(x - 3) - 4(x - 3) = 0 \cr & \Rightarrow (x - 3)({x^2} - 4) = 0 \cr & \Rightarrow (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ \matrix{ x = 3 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \( x=3,x=2,x=-2\) Bài 56 trang 25 sgk toán 8 tập 1. Tính nhanh giá trị của đa thức: a) \(x^2+ \frac{1}{2}x+ \frac{1}{16}\) tại \(x = 49,75\); b) \(x^2– y^2– 2y – 1\) tại \(x = 93\) và \(y = 6\). Bài giải: a) \(x^2+ \frac{1}{2}x+ \frac{1}{16}\) tại \(x = 49,75\) Ta có: \(x^2+ \frac{1}{2}x+ \frac{1}{16} = x^2+ 2 . x . \frac{1}{4} + \left ( \frac{1}{4} \right )^{2}= \left ( x + \frac{1}{4} \right )^{2}\) Với \(x = 49,75\) ta có: \(\left ( 49,75 + \frac{1}{4} \right )^{2}= (49,75 + 0,25)^2= 50^2= 2500\) b) \(x^2– y^2– 2y – 1\) tại \(x = 93\) và \(y = 6\) Ta có: \({x^2}-{\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}({y^2} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1)\) \(= {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\) \(= {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\) Với \(x = 93, y = 6\) ta được: \((93 - 6 - 1)(93 + 6 + 1) = 86 . 100 = 8600 \) Bài 57 trang 25 sgk toán 8 tập 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) $x^2 – 4x + 3$; b) $x^2 + 5x + 4$; c) $x^2 – x – 6$; d) $x^4 + 4$ Bài giải: a) $x^2 – 4x + 3 = x^2 – x - 3x + 3$ $= x(x - 1) - 3(x - 1) = (x -1)(x - 3)$ b) $x^2 + 5x + 4 = x^2 + 4x + x + 4$ $= x(x + 4) + (x + 4)$ $= (x + 4)(x + 1)$ c) $x^2 – x – 6 = x^2 +2x – 3x – 6$ $= x(x + 2) - 3(x + 2)$ $= (x + 2)(x - 3)$ d) $x^4+ 4 = x^4 + 4x^2 + 4 – 4x^2$ $= (x2 + 2)^2 – (2x)^2 $ $= (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 + 2x)$ Bài 58 trang 25 sgk toán 8 tập 1. Chứng minh rằng $n^3 – n$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Bài giải: Ta có: $n^3– n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)$ Với n ∈ Z là tích của ba số nguyên liên tiếp. Do đó nó chia hết cho 3 và 2 mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n3 – n chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6.
