Bài 57 trang 61 sgk toán 8 tập 1. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau: a)\({3 \over {2x - 3}}\) và \({{3x + 6} \over {2{x^2} + x - 6}}\) b)\({2 \over {x + 4}}\) và \({{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\) Hướng dẫn làm bài: a) \({3 \over {2x - 3}}\) và \({{3x + 6} \over {2{x^2} + x - 6}}\) Cách 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau. \({3 \over {2x - 3}}\)= \({{3x + 6} \over {2{x^2} + x - 6}}\) Vì : \(3\left( {2{x^2} + x - 6} \right) = 6{x^2} + 3x - 18\) =\(6{x^2} + 12x - 9x - 18\) =\(2x\left( {3x + 6} \right) - 3\left( {3x + 6} \right)\) =\(\left( {2x - 3} \right)\left( {3x + 6} \right)\) Cách 2: Rút gọn phân thức \({{3x + 6} \over {2{x^2} + x - 6}} = {{3\left( {x + 2} \right)} \over {2{x^2} + 4x - 3x - 6}} = {{3\left( {x + 2} \right)} \over {2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right)}}\) =\({{3\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = {3 \over {2x - 3}}\) b) \({2 \over {x + 4}}\) và \({{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\) Cách 1:\({2 \over {x + 4}} = {{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}}\) Vì : \(2\left( {{x^3} + 7{x^2} + 12x} \right) = 2{x^3} + 14{x^2} + 24x\) \(=\left( {x + 4} \right)\left( {2{x^2} + 6x} \right)\) \(= 2{x^3} + 6{x^2} + 8{x^2} + 24x = 2{x^3} + 14{x^2} + 24x\) Nghĩa là \(2\left( {{x^3} + 7{x^2} + 12x} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {2{x^2} + 6x} \right)\) Cách 2: \({{2{x^2} + 6x} \over {{x^3} + 7{x^2} + 12x}} = {{2x\left( {x + 3} \right)} \over {x\left( {{x^2} + 7x + 12} \right)}} = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} + 3x + 4x + 12}}\) \( = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right) + 4\left( {x + 3} \right)}} = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = {2 \over {x + 4}}\) Bài 58 trang 62 sgk toán 8 tập 1. Thực hiện các phép tính sau: a) \(\left( {{{2x + 1} \over {2x - 1}} - {{2x - 1} \over {2x + 1}}} \right):{{4x} \over {10x - 5}}\) b) \(\left( {{1 \over {{x^2} + x}} - {{2 - x} \over {x + 1}}} \right):\left( {{1 \over x} + x - 2} \right);\) c) \({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2} - 2x + 1}} + {1 \over {1 - {x^2}}}} \right).\) Hướng dẫn làm bài: a) \(\left( {{{2x + 1} \over {2x - 1}} - {{2x - 1} \over {2x + 1}}} \right):{{4x} \over {10x - 5}} = {{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \over {\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.{{10x + 5} \over {4x}}\) =\({{4{x^2} + 4x + 1 - 4{x^2} + 4x - 1} \over {\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.{{5\left( {2x + 1} \right)} \over {4x}}\) =\({{8x.5\left( {2x + 1} \right)} \over {\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right).4x}} = {{10} \over {2x - 1}}\) b) \(\left( {{1 \over {{x^2} + x}} - {{2 - x} \over {x + 1}}} \right):\left( {{1 \over x} + x - 2} \right)\) =\(\left( {{1 \over {x\left( {x + 1} \right)}} + {{x - 2} \over {x + 1}}} \right):{{1 + {x^2} - 2x} \over x}\) =\({{1 + x\left( {x - 2} \right)} \over {x\left( {x + 1} \right)}}.{x \over {{x^2} - 2x + 1}}\) =\({{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)x} \over {x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}} = {1 \over {x + 1}}\) c) \({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2} - 2x + 1}} + {1 \over {1 - {x^2}}}} \right)\) =\({1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - {1 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]\) =\({1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x + 1 - \left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}.\left( {x + 1} \right)}}\) =\({1 \over {x - 1}} - {{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x + 1 - x + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\) =\({1 \over {x - 1}} - {{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).2} \over {\left( {{x^2} + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = {1 \over {x - 1}} - {{2x} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\) =\({{{x^2} + 1 - 2x} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{x - 1} \over {{x^2} + 1}}\) Bài 59 trang 62 sgk toán 8 tập 1. a) Cho biểu thức \({{xP} \over {x + P}} - {{yP} \over {y - P}}\). Thay \(P = {{xy} \over {x - y}}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức. b) Cho biểu thức \({{{P^2}{Q^2}} \over {{P^2} - {Q^2}}}\). Thay \(P = {{2xy} \over {{x^2} - {y^2}}}\) và \(Q = {{2xy} \over {{x^2} + {y^2}}}\)vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức. Hướng dẫn làm bài: a) Với \(P = {{xy} \over {x - y}}\) Ta có:\({{xP} \over {x + P}} - {{yP} \over {y - P}} = {{{{{x^2}y} \over {x - y}}} \over {x + {{xy} \over {x - y}}}} - {{{{x{y^2}} \over {x - y}}} \over {y - {{xy} \over {x - y}}}}\) =\({{{x^2}y} \over {{x^2}}} - {{x{y^2}} \over {{y^2}}} = y + x = x + y\) b) Với \(P = {{2xy} \over {{x^2} - {y^2}}}\) và \(Q = {{2xy} \over {{x^2} + {y^2}}}\) Ta có:\({{{P^2}{Q^2}} \over {{P^2} - {Q^2}}}\)\( = {{{{\left( {{{2xy} \over {{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {{{2xy} \over {{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{{2xy} \over {{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2} - {{\left( {{{2xy} \over {{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}}\)\( = {{{{\left[ {{{2xy.2xy} \over {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}} \right]}^2}} \over {{{4{x^2}{y^2}} \over {{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}} - {{4{x^2}{y^2}} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}}}\) =\({{{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}} \over {{{4{x^2}{y^2}\left[ {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}} \right]} \over {{{\left[ {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]}^2}}}}}\) =\({{{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}} \over {{{4{x^2}{y^2}.({x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} - {x^4} + 2{x^2}{y^2} - {y^4}} \over {{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}\) =\({{{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}} \over {{{4{x^2}{y^2}.4{x^2}{y^2}} \over {{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}} = {{{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}} \over {{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}} = 1\) Bài 60 trang 62 sgk toán 8 tập 1. Cho biểu thức \(\left( {{{x + 1} \over {2x - 2}} + {3 \over {{x^2} - 1}} - {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right).{{4{x^2} - 4} \over 5}\). a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định. b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x. Hướng dẫn làm bài: a) \(2x - 2 = 2\left( {x - 1} \right) \ne 0\) khi \(x - 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\) \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(x - 1 \ne 0\) và \( x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\) và \( x \ne - 1\) \(2x + 2 = 2\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\) Do đó điều kiện để giá trị của biểu thức được xác định là \(x \ne - 1,x \ne 1\) b) Để chứng minh biểu thức không phục thuộc vào biến x ta phải chứng tỏ rằng có thể biến đổi biểu thức này thành một hằng số. Thật vậy:\(\left( {{{x + 1} \over {2x - 2}} + {3 \over {{x^2} - 1}} - {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right).{{4{x^2} - 4} \over 5}\) =\(\left[ {{{x + 1} \over {2\left( {x - 1} \right)}} + {3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{x + 3} \over {2\left( {x + 1} \right)}}} \right].{{4{x^2} - 4} \over 5}\) =\({{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6 - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\) =\({{{x^2} + 2x + 1 + 6 - {x^2} - 2x + 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\) =\({{10} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\) =\({{10.4.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).5}} = {{10.2} \over 5} = 4\) Bài 61 trang 62 sgk toán 8 tập 1. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức \(\left( {{{5x + 2} \over {{x^2} - 10x}} + {{5x - 2} \over {{x^2} + 10x}}} \right).{{{x^2} - 100} \over {{x^2} + 4}}\) được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại x = 20 040. Hướng dẫn làm bài: \({x^2} - 10x = x\left( {x - 10} \right) \ne 0\) khi \(x \ne 0; x - 10 \ne 0\) Hay \(x \ne 0; x \ne 10\) \({x^2} + 10x = x\left( {x + 10} \right) \ne 0\) khi \(x \ne 0; x + 10 \ne 0\) Hay \(x \ne 0; x \ne - 10\) \({x^2} + 4 \ge 4\) Vậy điều kiện của biến x để biểu thức đã cho được xác định là \(x \ne - 10,x \ne 0,x \ne 10\) Để việc tính giá trị của biểu thức được đơn giản hơn ta rút gọn biểu thức trước : \(\left( {{{5x + 2} \over {{x^2} - 10x}} + {{5x - 2} \over {{x^2} + 10x}}} \right).{{{x^2} - 100} \over {{x^2} + 4}}\) = \(\left[ {{{5x + 2} \over {x\left( {x - 10} \right)}} + {{5x - 2} \over {x\left( {x + 10} \right)}}} \right].{{{x^2} - 100} \over {{x^2} + 4}}\) =\({{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)} \over {x\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}.{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)} \over {{x^2} + 4}}\) =\({{5{x^2} + 52x + 20 + 5{x^2} - 52x + 20} \over {x\left( {{x^2} + 4} \right)}} = {{10{x^2} + 40} \over {x\left( {{x^2} + 4} \right)}}\) = \({{10\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {x\left( {{x^2} + 4} \right)}} = {{10} \over x}\) \(x = 20040\) thỏa mãn điều kiện của biến. Vậy với x = 20040 biểu thức có giá trị là \({{10} \over {20040}} = {1 \over {2004}}\) Bài 62 trang 62 sgk toán 8 tập 1. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức \({{{x^2} - 10x + 25} \over {{x^2} - 5x}}\) bằng 0. Hướng dẫn làm bài: Điều kiện cuả biến: \({x^2} - 5x = x\left( {x - 5} \right) \ne 0; x - 5 \ne 0\) hay \(x \ne 0; x \ne 5\) Do đó điều kiện của biến là \(x \ne 0; x \ne 5\) Rút gọn phân thức: \({{{x^2} - 10x + 25} \over {{x^2} - 5x}} = {{{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \over {x\left( {x - 5} \right)}} = {{x - 5} \over x}\) Phân thức có giá trị bằng 0 khi \({{x - 5} \over x} = 0\) Hay \(x - 5 = 0và x \ne 0\) hay x = 5 Nhưng x = 5 không thỏa mãn điều kiện của biến. Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức thức 0. Bài 63 trang 62 sgk toán 8 tập 1. Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên: a) \({{3{x^2} - 4x - 17} \over {x + 2}}\) ; b) \({{{x^2} - x + 2} \over {x - 3}}\) Hướng dẫn làm bài: a)Ta có: \({{3{x^2} - 4x - 17} \over {x + 2}} = 3x - 10 + {3 \over {x + 2}}\) Để phân thức là số nguyên thì \({3 \over {x + 2}}\) phải là số nguyên (với giá trị nguyên của x). \({3 \over {x + 2}}\) nguyên thì x +2 phải là ước của 3. Các ước của 3 là \( \pm 1, \pm 3\) . Do đó \(x + 2 = \pm 1 = > x = - 1,x = - 3\) \(x + 2 = \pm 3 = > x = 1,x = - 5\) Vậy \(x = - 5; - 3; - 1;1.\) Cách khác: \({{3{x^2} - 4x - 17} \over {x + 2}} = {{\left( {3{x^2} + 6x} \right) - \left( {10x + 20} \right) + 3} \over {x + 2}}\) =\({{3x\left( {x + 2} \right) - 10\left( {x + 2} \right) + 3} \over {x + 2}}\) =\(3x - 10 + {3 \over {x + 2}}\) Rồi tiếp tục như trên ta được kết quả. b)Ta có:\({{{x^2} - x + 2} \over {x - 3}} = x + 2 + {8 \over {x - 3}}$\) Để \({{{x^2} - x + 2} \over {x - 3}}\) là nguyên thì \({8 \over {x - 3}}\) phải nguyên. Suy ra x – 3 là ước của 8. Các ước của 8 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\) Do đó \(x - 3 = \pm 1 = > x = 4;2\) \(x - 3 = \pm 2 = > x = 5;1\) \(x - 3 = \pm 4 = > x = 7; - 1\) Vậy \(x = - 5; - 1;1;2;4;5;7;11\). Bài 64 trang 62 sgk toán 8 tập 1. Tìm giá trị của phân thức trong bài tập 62 tại x = 1,12 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba. Hướng dẫn làm bài: Điều kiện của biến\(x \ne 0,x \ne - 5\) . Ta có \({{{x^2} - 10x + 25} \over {{x^2} - 5x}} = {{x - 5} \over x}\) Vì \(x = 1,12\) thỏa mãn điều kiện của biến nên khi đó giá trị của phân thức đã cho bằng : \({{1,12 - 5} \over {1,12}} = {{ - 3,88} \over {1,12}} \approx 3,464285 \ldots \) Kết quả chính xác đến 0,001 là \( \approx - 3,464\)
