Bài 34 trang 25 sgk toán 8 tập 2. Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm đơn vị thì được phân số mới bằng \({1 \over 2}\) . Tìm phân số ban đầu. Hướng dẫn làm bài: Gọi x là tử số của phân số ( \(x \in Z,x \ne - 3)\) Mẫu số của phân số là x + 3. Phân số lúc sau là\({{x + 2} \over {x + 3 + 2}} = {{x + 2} \over {x + 5}}\) Vì phân số mới bằng \({1 \over 2}\) nên ta có phương trình : \({{x + 2} \over {x + 5}} = {1 \over 2}\) Khử mẫu :\(2\left( {x + 2} \right) = x + 5 \Leftrightarrow 2x + 4 = x + 5\) ⇔x=1 x=1 thỏa điều kiện đặt ra. Vậy phân số lúc đầu :\({1 \over 4}\) Bài 35 trang 25 sgk toán 8 tập 2. Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng \({1 \over 8}\) số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh? Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số học sinh cả lớp (x nguyên dương) Số học sinh giỏi trong học kì I:\({1 \over 8}x\) Số học sinh giỏi sau học kì II:\({1 \over 8}x + 3\) Vì số học sinh giỏi trong học kì 2 bằng 20% số học sinh cả lớp nên: \({1 \over 8} + 3 = {{20} \over {100}}x \Leftrightarrow {1 \over 8}x + 3 = {1 \over 5}x\) ⇔\(5x + 120 = 8x\) ⇔\(120 = 3x\) ⇔\(x = 40\) x=40 thỏa điều kiện đặt ra. Vậy số học sinh của lớp 8A là 40. Bài 36 trang 26 sgk toán 8 tập 2. (Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi – ô – phăng, lấy trong Hợp tuyển Hi Lạp – Cuốn sách gồm 46 bài toán về số,viết dưới dạng thơ trào phúng), Thời thơ ấu của Đi – ô – phăng chiếm \({1 \over 6}\) cuộc đời \({1 \over {12}}\) cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi Thêm \({1 \over 7}\) cuộc đời nữa ông sống độc thân Sau khi lập gia đình được 5 năm thì sinh một con trai Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất Đi – ô – phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra? Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số tuổi của ông Đi – ô – phăng (x nguyên dương) Thời thơ ấu của ông:\({1 \over 6}x\) Thời thanh niên:\({1 \over {12}}x\) Thời gian sống độc thân:\({1 \over 7}x\) Thời gian lập gia đình đến khi có con và mất:\(5 + {1 \over 2}x + 4\) Ta có phương trình:\({1 \over 6}x + {1 \over {12}}x + {1 \over 7}x + 5 + {1 \over 2}x + 4 = x\) ⇔\(14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x\) ⇔\(75x + 756 = 84x\) ⇔\(9x = 756\) ⇔\(x = 84\) Vậy nhà toán học Đi – ô – phăng thọ 84 tuổi. Bài 37 trang 30 sgk toán 8 tập 2. Lúc 6 giờ, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy? Hướng dẫn giải: Gọi x (km) là quãng đường AB (x > 0). Thời gian chuyển động từ A đến B của xe máy: 9h30 - 6h = 3h30 = \( \frac{7}{2}\) (giờ) Vận tốc của xe máy: x : \( \frac{7}{2}\) = \( \frac{2x}{7}\) (km/h) Thời gian chuyển động từ A đến B của ô tô: \( \frac{7}{2}\) - 1 = \( \frac{5}{2}\) (giờ) Vận tốc của ô tô: x : \( \frac{5}{2}\) = \( \frac{2x}{5}\) Vì vận tốc của ô tô hơn xe máy 20km/h nên ta có phương trình: \( \frac{2x}{5}\) - \( \frac{2x}{7}\) = 20 ⇔ 14x - 10x = 700 ⇔ 4x = 700 ⇔ x = 175 x = 175 thoả mãn điều kiện đặt ra. Vậy quãng đường AB dài 175km. Vận tốc trung bình của xe máy: 175 : \( \frac{7}{2}\) = 50(km/h). Bài 38 trang 30 sgk toán 8 tập 2. Điểm kiểm tra Toán của một tổ học tập được cho trong bảng sau: Biết điểm trung bình của cả tổ là 6,6. Hãy điền các giá trị thích hợp vào hai ô còn trống (được đánh giá *). Hướng dẫn giải: Gọi x là tần số của biến lượng điểm 5 (0<x<10; nguyên) Tần số của điểm 9: 10 - (1 + 2 + 3 + 3 + x) = 4 - x Điểm trung bình của cả tổ bằng 6,6 nên = 6,6 ⇔ 4 + 5x + 14 + 24 + 36 - 9x = 66 ⇔ -4x + 78 = 66 ⇔ -4x = -12 ⇔ x = 3 x = 3 thích hợp với điều kiện Bài 39 trang 30 sgk toán 8 tập 2. Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, trong đó đã tính cả 10 nghìn đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt VAT). Biết rằng thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là 10%; thuế VAT đối với loại hàng thứ 2 là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền? Hướng dẫn giải: Gọi x (đồng) là tiền mua loại hàng thứ nhất không kể thuế VAT (0 < x < 110000) Tiền mua loại hàng thứ hai không kể thuế VAT: 110000 - x Số tiền thất sự Lan đã trả cho loại hàng 1: x + 0,1x Số tiền thất sự Lan đã trả cho loại hàng 2: 110000 - x + 0,08(110000 - x) Ta có phương trình x+ 0,1x + 110000 - x + 0,08(110000 - x) = 120000 ⇔ 0,1x + 110000 + 8800 - 0,08x = 120000 ⇔ 0,02x = 1200 ⇔ x = 60000 x = 6000 thoả mãn điều kiện Vậy số tiền trả cho loại hàng thứ nhất là 60000 đồng (không kể thuế VAT) Số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai không kể thuế VAT: 50000 đồng Bài 40 trang 31 sgk toán 8 tập 2. Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương, Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi? Hướng dẫn làm bài: Gọi x là tuổi Phương hiện nay (x >0; nguyên) Tuổi của mẹ là: 3x Tuổi Phương 13 năm sau: x + 13 Tuổi của mẹ 13 năm sau: 3x + 13 Ta có phương trình: 3x + 13 = 2(x + 13) ⇔3x + 13 = 2x + 26 ⇔x = 13 x = 13 thỏa điều kiện. Bài 41 trang 31 sgk toán 8 tập 2. Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 xem vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370. Tìm số ban đầu. Hướng dẫn làm bài: Gọi x là chữ số hàng chục. (\(0 < x \le 13;x \in N)\) Chữ số hàng đơn vị: 2x Số tự nhiên lúc đầu:\(\overline {x\left( {2x} \right)} \) Số tự nhiên lúc sau: \(\overline {x1\left( {2x} \right)} \) Vì số mới hơn số ban đầu là 370 nên \(\overline {x1\left( {2x} \right)} - \overline {x\left( {2x} \right)} \) ⇔\(\left( {100x + 10 + 2x} \right) - \left( {10x + 2x} \right) = 370\) ⇔\(100x + 10 + 2x - 10x - 2x = 370\) ⇔\(90x = 360\) ⇔\(x = 4\) x=4 thỏa điều kiện đặt ra. Vậy số ban đầu: 48 Bài 42 trang 31 sgk toán 8 tập 2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153 lần số ban đầu. Hướng dẫn làm bài: Gọi số ban đầu là x (\(10 \le x \le 99)\); x ∈ N Số lúc sau là \(\overline {2x2} \) Vì số lúc sau lớn gấp 153 lần số ban đầu nên ta có phương trình : \(\overline {2x2} = 153x \Leftrightarrow 2000 + 10x + 2 = 153\) ⇔\(2002 = 143x\) ⇔x=14 x=14 thỏa điều kiện đặt ra. Vậy số tự nhiên cần tìm : 14 Bài 43 trang 31 sgk toán 8 tập 2. Tìm phân số có đồng thời các tính chất sau: a) Tử số của phân số là số tự nhiên có một chữ số; b) Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4; c) Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vào bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số, thì ta được một phân số bằng phân số \({1 \over 5}\) . Hướng dẫn làm bài: Gọi x là tử số của phân số cần tìm (với \(x \le {Z^*})\) Mẫu số của phân số:\(x - 4\left( {x \ne 4} \right)\) Từ tính chất thứ ba ta có phương trình: \({x \over {\left( {x - 4} \right).x}} = {1 \over 5} \Leftrightarrow 5x = 10\left( {x - 4} \right) + x\) ⇔\(5x = 10x - 40 + x\) ⇔\(6x = 40\) ⇔ \(x = {{20} \over 3}\) (không thỏa điều kiện đặt ra). Vậy không có phân số thỏa các điều kiện trên Bài 44 trang 31 sgk toán 8 tập 2. Điểm kiểm tra Toán của một lớp được cho trong bảng dưới đây: Trong đó có hai ô còn trống (thay bằng dấu *). Hãy điền số thích hợp vào ô trống, nếu điểm trung bình của lớp là 6,06. Hướng dẫn làm bài: Gọi x là tần số của điểm 4 (x > 0; nguyên) Số học sinh của lớp: 2 +x +10 + 12 + 7 + 6 + 4 + 1 = 42 + x Vì điểm trung bình bằng 6,06 nên: \({{2.3 + 4.x + 5.10 + 6.12 + 7.7 + 6.8 + 9.4 + 10.1} \over {42 + x}} = 6,06\) ⇔ 6 + 4x + 50 + 72 + 49 + 48 + 36 + 10= 6,06(42 + x) ⇔ (271 + 4x = 254,52 + 6,06x) ⇔ 16,48 = 2,06x ⇔ x = 8 (thỏa điều kiện đặt ra) Vậy ta có kết quả điền vào như sau: Bài 45 trang 31 sgk toán 8 tập 2. Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa.Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng. Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng (x nguyên dương) Số tấm thảm len mỗi ngày dự định dệt: \({x \over {20}}\) Số tấm thảm len thực tế đã dệt: x + 24 Số tấm thảm len mỗi ngày đã dệt:\({{x + 24} \over {18}}\) Vì năng suất của xí nghiệp tăng 20% nên số thảm thực tế dệt trong một ngày bằng 120% số thảm dự định dệt trong một ngày; ta có phương trình: \({{x + 24} \over {18}} = 120\% .{x \over {20}}\) ⇔ \({{x + 24} \over {18}} = {6 \over 5}.{x \over {20}}\) ⇔\(50\left( {x + 24} \right) = 54x\) ⇔\(50x + 1200 = 54x\) ⇔\(4x = 1200\) ⇔\(x = 300\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy số tấm thảm len dự định dệt là 300 tấm. Bài 46 trang 31 sgk toán 8 tập 2. Một người lái ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB Hướng dẫn làm bài: Gọi x là quãng đường AB (x > 0; km) Đoạn đường đi trong 1 giờ: 48 km Đoạn đường còn lại: x – 48 Thời gian dự đinh:\({{x - 48} \over {48}}\) Thời gian thực tế:\({{x - 48} \over {54}}\) Nếu không bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút thì ô tô sẽ đến sớm nên: \({{x - 48} \over {48}} - {{x - 48} \over {54}} = {1 \over 6}\) ⇔\(9\left( {x - 48} \right) - 8\left( {x - 48} \right) = 72\) ⇔\(9x - 432 - 8x + 384 = 72\) ⇔\(x = 120\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy quãng đường AB bằng 120 km. Bài 47 trang 32 sgk toán 8 tập 2. Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau. a)Hãy viết biểu thức biểu thị: +Số tiền lãi sau tháng thứ nhất; +Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất; +Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai. b)Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng só tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm? Hướng dẫn làm bài: a) Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm: x đồng Lãi suất là a% tháng nên số tiền lãi sau tháng thứ nhất a%.x Số tiền lãi có được sau tháng thứ hai: Tổng số tiền lãi sau hai tháng: \(a\% x + \left( {1 + a\% } \right)x.a\% = \left( {2 + a\% } \right).a\% x\) b) Vì sau hai tháng bà An lãi 48288 đồng với lãi suất 1,2% nên: \(\left( {2 + 1,2\% } \right)1,2\% x = 48288 \Leftrightarrow x = {{48288} \over {2,012.0,012}}\) ⇔\(x = 2000000\) Vậy bà An đã gửi tiết kiệm 2000 000 đồng. Bài 48 trang 32 sgk toán 8 tập 2. Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy, số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số dân năm ngoái của tỉnh A (0 < x < 4 000 000; x ∈ N Số dân tỉnh B: 4000 000 – x Số dân của tỉnh A năm nay: 1,011.x Số dân của tỉnh B năm nay: 1,012 (4000000 – x ) Vì dân số tỉnh A năm nay hơn tỉnh B là 8072000 người nên ta có phương trình: \(1,011x - 1,012\left( {4000000 - x} \right) = 807200\) ⇔\(1,011x - 4048000 + 1,012x = 807200\) ⇔\(2,023x = 4855200\) ⇔ 9x = 2 400 000 (thỏa điều kiện đặt ra) Vậy dân số của tỉnh A: 2 400 000 người Dân số của tỉnh B: 1 600 000 người Bài 49 trang 32 sgk toán 8 tập 2. Đố: Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC. Hướng dẫn làm bài: Gọi x (cm) là cạnh AC (x > 0). Gọi hình chữ nhật là MNPA thì MC = x – 2 (cm) Vì MN // AB nên \({{MN} \over {AB}} = {{MC} \over {AC}}\) =>\(MN = {{AB.MC} \over {AC}} = {{3\left( {x - 2} \right)} \over x}\) Diện tích hình chữ nhật : \(2.{{3\left( {x - 2} \right)} \over x} = {{6\left( {x - 2} \right)} \over x}\) Diện tích hình tam giác :\({1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.3x = {3 \over 2}x\) Vì diện tích hình chữ nhật bằng một nửa diện tích hình tam giác \({3 \over 2}x = 2{{6\left( {x - 2} \right)} \over x} \Leftrightarrow 3{x^2} = 24 - 48\) ⇔\(3{x^2} - 24x + 48 = 0\) ⇔\({x^2} - 8x + 16 = 0\) ⇔\({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\) ⇔\(x = 4\) (thỏa điều kiện đặt ra) Vậy AC = 4cm.
