Bài 27 trang 22 sgk toán 8 tập 2. Giải các phương trình: a) \( \frac{2x-5}{x+5}\) = 3; b) \( \frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}\) c) \( \frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\); d) \( \frac{5}{3x+2}\) = 2x - 1 Hướng dẫn giải: a) ĐKXĐ: x # -5 \( \frac{2x-5}{x+5}\) = 3 ⇔ \( \frac{2x-5}{x+5}\) \( =\frac{3(x+5)}{x+5}\) ⇔ 2x - 5 = 3x + 15 ⇔ 2x - 3x = 5 + 20 ⇔ x = -20 thoả ĐKXĐ Vậy tập hợp nghiệm S = {-20} b) ĐKXĐ: x # 0 \( \frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}\) ⇔ \( \frac{2(x^{2}-6)}{2x}=\frac{2x^{2}+3x}{2x}\) Suy ra: 2x2 – 12 = 2x2 + 3x ⇔ 3x = -12 ⇔ x = -4 thoả x # 0 Vậy tập hợp nghiệm S = {-4}. c) ĐKXĐ: x # 3 \( \frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\) ⇔ x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 ⇔ (x - 3)(x + 2) = 0 mà x # 3 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 Vậy tập hợp nghiệm S = {-2} d) ĐKXĐ: x # \( -\frac{2}{3}\) \( \frac{5}{3x+2}\) = 2x - 1 ⇔ \( \frac{5}{3x+2}\) \( =\frac{(2x -1)(3x+2)}{3x+2}\) ⇔ 5 = (2x - 1)(3x + 2) ⇔ 6x2 – 3x + 4x – 2 – 5 = 0 ⇔ 6x2 + x - 7 = 0 ⇔ 6x2 - 6x + 7x - 7 = 0 ⇔ 6x(x - 1) + 7(x - 1) = 0 ⇔ (6x + 7)(x - 1) = 0 ⇔ x = \( -\frac{7}{6}\) hoặc x = 1 thoả x # \( -\frac{2}{3}\) Vậy tập nghiệm S = {1;\( -\frac{7}{6}\)}. Bài 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2. Giải các phương trình: a) \( \frac{2x-1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}\); b) \( \frac{5x}{2x+2}+1=-\frac{6}{x+1}\) c) x + \( \frac{1}{x}\) = x2 + \( \frac{1}{x^{2}}\); d) \( \frac{x+3}{x+1}+\frac{x-2}{x}\) = 2. Hướng dẫn giải: a) ĐKXĐ: x # 1 Khử mẫu ta được: 2x - 1 + x - 1 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 không thoả mãn ĐKXĐ Vậy phương trình vô nghiệm. b) ĐKXĐ: x # -1 Khử mẫu ta được: 5x + 2x + 2 = -12 ⇔ 7x = -14 ⇔ x = -2 Vậy phương trình có nghiệm x = -2. c) ĐKXĐ: x # 0. Khử mẫu ta được: x3 + x = x4 + 1 ⇔ x4 - x3 -x + 1 = 0 ⇔ x3(x – 1) –(x – 1) = 0 ⇔ (x3 -1)(x - 1) = 0 ⇔ x3 -1 = 0 hoặc x - 1 = 0 1) x - 1 = 0 ⇔ x = 1 2) x3 -1 = 0 ⇔ (x - 1)(x2 + x + 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x2 + x + 1 = 0 ⇔ \( (x+\frac{1}{2})^{2}\) = \( -\frac{3}{4}\) (vô lí) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. d) ĐKXĐ: x # 0 -1. Khử mẫu ta được x(x + 3) + (x + 1)(x - 2) = 2x(x + 1) ⇔ x2 + 3x + x2 – 2x + x – 2 = 2x2 + 2x ⇔ 2x2 + 2x - 2 = 2x2 + 2x ⇔0x = 2 Phương trình 0x = 2 vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài 29 trang 22 sgk toán 8 tập 2. Bạn Sơn giải phương trình \({{{x^2} - 5x} \over {x - 5}} = 5\left( 1 \right)\) như sau: (1) ⇔\({x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right)\) ⇔\({x^2} - 5x = 5x - 25\) ⇔\({x^2} - 10x + 25 = 0\) ⇔\({\left( {x - 5} \right)^2} = 0\) ⇔\(x = 5\) Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau: (1) ⇔\({{x\left( {x - 5} \right)} \over {x - 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5\) Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên. Hướng dẫn làm bài: + Trong cách giải của bạn Sơn có ghi (1) \({x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right)\) ⇔ là sai vì x = 5 không là nghiệm của (1) hay ( 1) có ĐKXĐ :\(x \ne 5\) . + Trong cách giải của Hà có ghi (1) ⇔\({{x\left( {x - 5} \right)} \over {x - 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5\) Sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ của phương trình mà lại rút gọn x – 5. Tóm lại cả hai cách giải đều sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Bài 30 trang 23 sgk toán 8 tập 2. Giải các phương trình: a) \({1 \over {x - 3}} + 3 = {{x - 3} \over {2 - x}}\) b) \(2x - {{2{x^2}} \over {x + 3}} = {{4x} \over {x + 3}} + {2 \over 7}\) c) \({{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}} = {4 \over {{x^2} - 1}}\) d) \({{3x - 2} \over {x + 7}} = {{6x + 1} \over {2x - 3}}\) Hướng dẫn làm bài: a) \({1 \over {x - 3}} + 3 = {{x - 3} \over {2 - x}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 2\) Khử mẫu ta được: \(1 + 3\left( {x - 2} \right) = - \left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow 1 + 3x - 6 = - x + 3\) ⇔\(3x + x = 3 + 6 - 1\) ⇔4x = 8 ⇔x = 2. x = 2 không thỏa ĐKXĐ. Vậy phương trình vô nghiệm. b) \(2x - {{2{x^2}} \over {x + 3}} = {{4x} \over {x + 3}} + {2 \over 7}\) ĐKXĐ:\(x \ne - 3\) Khử mẫu ta được: \(14\left( {x + 3} \right) - 14{x^2}\)= \(28x + 2\left( {x + 3} \right)\) \(\Leftrightarrow 14{x^2} + 42x - 14{x^2}= 28x + 2x + 6\) ⇔ \(42x - 30x = 6\) ⇔\(12x = 6\) ⇔\(x = {1 \over 2}\) \(x = {1 \over 2}\) thỏa ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\) c) \({{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}} = {4 \over {{x^2} - 1}}\) ĐKXĐ:\(x \ne \pm 1\) Khử mẫu ta được: \({\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 4\) ⇔\({x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 = 4\) ⇔\(4x = 4\) ⇔\(x = 1\) x = 1 không thỏa ĐKXĐ. Vậy phương trình vô nghiệm. d) \({{3x - 2} \over {x + 7}} = {{6x + 1} \over {2x - 3}}\) ĐKXĐ:\(x \ne - 7\) và \( x \ne {3 \over 2}\) Khử mẫu ta được: \(\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\) ⇔\(6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7\) ⇔\( - 13x + 6 = 43x + 7\) ⇔\( - 56x = 1\) ⇔\(x = {{ - 1} \over {56}}\) \(x = {{ - 1} \over {56}}\) thỏa ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{ - 1} \over {56}}\) . Bài 31 trang 23 sgk toán 8 tập 2. Giải các phương trình: a) \({1 \over {x - 1}} - {{3{x^2}} \over {{x^3} - 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\) b) \({3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) c) \(1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}\) d) \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) Giải: a) \({1 \over {x - 1}} - {{3{x^2}} \over {{x^3} - 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\) Ta có: \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\) \(= \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\) cho nên x3 – 1 ≠ 0 khi x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1 Vậy ĐKXĐ: x ≠ 1 Khử mẫu ta được: \({x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x\) \(\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0\) \(\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = - {1 \over 4}} \cr} }\right.\) x = 1 không thỏa ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - {1 \over 4}\) b) \({3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3 Khử mẫu ta được: \(3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1 \Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\) \( \Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1\) ⇔ 4x = 12 ⇔ x = 3 x = 3 không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình vô nghiệm. c) \(1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}\) Ta có: \(8 + {x^3} = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\) \( = \left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3} \right]\) Do đó: 8 + x2 ≠ 0 khi x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2 Suy ra ĐKXĐ: x ≠ -2 Khử mẫu ta được: \({x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\) \(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0\) ⇔ x(x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x(x -1) = 0 ⇔x = 0 hay x = 1 x = 0, x = 1 thỏa ĐKXĐ của phương trình. Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0;1}. d) \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 3,x \ne - 3,x \ne - {7 \over 2}\) Khử mẫu ta được: \(13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\) \(\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\) \(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0\) \(\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\) ⇔ x =3 hoặc x = -4 x = 3 không thỏa ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -4 Bài 32 trang 23 sgk toán 8 tập 2. Giải các phương trình: a) \({1 \over x} + 2 = \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\) ; b) \({\left( {x + 1 + {1 \over x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - {1 \over x}} \right)^2}\) Hướng dẫn làm bài: a) \({1 \over x} + 2 = \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\) (1) ĐKXĐ:\(x \ne 0\) (1) ⇔\(\left( {{1 \over x} + 2} \right) - \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {1 - {x^2} - 1} \right) = 0\) ⇔ \(\left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( { - {x^2}} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{{1 \over x} + 2 = 0} \cr { - {x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{1 \over x} = - 2} \cr {{x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {1 \over 2}} \cr {x = 0} \cr} } \right.\) b) \({\left( {x + 1 + {1 \over x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - {1 \over x}} \right)^2}\) (2) ĐKXĐ: \(x \ne 0\) (2) ⇔\(\left[ {\matrix{{x + 1 + {1 \over x} = x - 1 - {1 \over x}} \cr {x + 1 + {1 \over x} = - \left( {x - 1 - {1 \over x}} \right)} \cr} } \right.\) ⇔\(\left[ {\matrix{{{2 \over x} = - 2} \cr {2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1} \cr {x = 0} \cr} } \right.} \right.\) x=0 không thoả ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1. Bài 33 trang 23 sgk toán 8 tập 2. Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2: a) \({{3a - 1} \over {3a + 1}} + {{a - 3} \over {a + 3}}\) b) \({{10} \over 3} - {{3a - 1} \over {4a + 12}} - {{7a + 2} \over {6a + 18}}\) Hướng dẫn làm bài: a)Ta có phương trình:\({{3a - 1} \over {3a + 1}} + {{a - 3} \over {a + 3}} = 2\); ĐKXĐ: \(a \ne - {1 \over 3},a \ne - 3\) Khử mẫu ta được : \(\left( {3a - 1} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {a - 3} \right)\left( {3a + 1} \right) = 2\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)\) ⇔\(3{a^2} + 9a - a - 3 + 3{a^2} - 9a + a - 3 = 6{a^2} + 18a + 2a + 6\) ⇔\(6{a^2} - 6 = 6{a^2} + 20a + 6\) ⇔\(20a = - 12\) ⇔\(a = - {3 \over 5}\) \(a = - {3 \over 5}\) thỏa ĐKXĐ. Vậy \(a = - {3 \over 5}\) thì biểu thức \({{3a - 1} \over {3a + 1}} + {{a - 3} \over {a + 3}}\) có giá trị bằng 2 b)Ta có phương trình:\({{10} \over 3} - {{3a - 1} \over {4a + 12}} - {{7a + 2} \over {6a + 18}} = 2\) ĐKXĐ:\(a \ne 3;MTC:12\left( {a + 3} \right)\) Khử mẫu ta được: \(40\left( {a + 3} \right) - 3\left( {3a - 1} \right) - 2\left( {7a + 2} \right) = 24\left( {a + 3} \right)\) ⇔\(40a + 120 - 9a + 3 - 14a - 4 = 24a + 72\) ⇔\(17a + 119 = 24a + 72\) ⇔\( - 7a = - 47\) ⇔\(a = {{47} \over 7}\) \(a = {{47} \over 7}\) thỏa ĐKXĐ. Vậy \(a = {{47} \over 7}\) thì biểu thức \({{10} \over 3} - {{3a - 1} \over {4a + 12}} - {{7a + 2} \over {6a + 18}}\) có giá trị bằng 2.
