Đại số 9 Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết
    1. Định nghĩa
    Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)

    Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và \(a\neq 0\)

    2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai
    Ví dụ 1:
    Giải phương trình: \(x^2+5x=0\)

    Giải: Ta có: \(x^2+5x=0\Leftrightarrow x(x+5)=0\)\(\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-5\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm \(x_{1}=0; x{_{2}}=-5\)

    Ví dụ 2:
    Giải phương trình: \(x^2-81=0\)

    Giải: \(x^2-81=0\Leftrightarrow x^2=81\Leftrightarrow x=\pm 9\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x_{1}=9; x{_{2}}=-9\)

    Ví dụ 3:
    Giải phương trình: \(x^2-6x-7=0\)

    Giải: \(x^2-6x-7=0\Leftrightarrow x^2-6x+9=16\Leftrightarrow (x-3)^2=4^2\)

    \(\Leftrightarrow x-3=4\) hoặc \(\Leftrightarrow x-3=-4\)

    Vậy \(x=7\) hoặc \(x=-1\)


    Bài tập minh họa
    1. Bài tập cơ bản
    Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng \(ax^2+bx+c=0\) rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình ấy.

    \(5x^2-3x=10x+100\); \(x^2=900\)

    Hướng dẫn: \(5x^2-3x=10x+100\)\(\Leftrightarrow 5x^2-13x-100=0\)

    Hệ số: \(a=5; b=-13; c=-100\)

    \(x^2=900\)\(\Leftrightarrow x^2-900=0\)

    Hệ số: \(a=1; b=0; c=-900\)

    Bài 2: Giải các phương trình sau:

    \(x^2-16=0; 4x^2+90=0\)

    Hướng dẫn: \(x^2-16=0\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm 4\)

    \(4x^2+90=0\Leftrightarrow x^2=\frac{-90}{4}\) (ptvn)

    Bài 3: Giải phương trình bậc hai bằng cách thêm bớt một cách thích hợp

    \(x^2+6x=-8\) ; \(x^2+x=7\)

    Hướng dẫn: \(x^2+6x=-8\Leftrightarrow (x^2+6x+9)=1\Leftrightarrow (x+3)^2=1\)

    \(\Rightarrow x=-2\) hoặc \(\Rightarrow x=-4\)

    \(x^2+x=7\Leftrightarrow x^2+2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=\frac{29}{4}\)

    \(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{1}{2} \right )^2=\left ( \frac{\sqrt{29}}{2} \right )^2\)\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{29}}{2}\)

    2. Bài tập nâng cao
    Bài 1: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-7x+12=0\)

    Hướng dẫn:\(x^2-7x+12=0\)

    \(x^2-7x+12=0\Leftrightarrow x^2-3x-4x+12=0\Leftrightarrow x(x-3)-4(x-3)=0\)

    \(\Leftrightarrow (x-4)(x-3)=0\)

    Vậy \(x=4\) hoặc \(x=3\)

    Bài 2: Giải phương trình \(\sqrt{x^2+6x+11}=\sqrt{2}\)

    Hướng dẫn: Ta có: \(x^2+6x+11=(x+3)^2+2\)

    Mà \((x+3)^2\geq 0\forall x\Leftrightarrow (x+3)^2+2\geq 2\forall x\)

    \(\Rightarrow \sqrt{x^2+6x+11}\geq \sqrt{2}\)

    Đẳng thức xảy ra khi \((x+3)^2=0\Leftrightarrow x=-3\)