Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình trùng phương Định nghĩa Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\) Đây không phải là phương trình bậc hai, nhưng ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Cụ thể là: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\) lúc đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\), chúng ta tiến hành giải phương trình bậc hai rồi so điều kiện, trả về ẩn x của bài toán ban đầu. 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm 3. Phương trình tích Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới: Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc..... Bài tập minh họa 1. Bài tập cơ bản Bài 1: Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-8x^2+7=0\) Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\) Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-8t+7=0\) Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được: \(t=1\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm 1\) \(t=7\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}\) Bài 2: Giải phương trình sau: \(\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}\) Hướng dẫn: Điều kiện: \(x\neq \pm 3\) Với điều kiện trên, phương trình trở thành: \(x^2-3x+6=x+3\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\) \(x=1\)(nhận) \(x=3\)(loại) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\) Bài 3: Giải phương trình tích sau: \((x-3)(x^4+3x^2+2)=0\) Hướng dẫn: Với bài toán trên, ta suy ra: \(x-3=0(1)\) hoặc \(x^4+3x^2+2=0(2)\) Giải (1) \(\Rightarrow x=3\) Giải (2), ta thấy rằng đây là một phương trình trùng phương, tiến hành đặt \(t=x^2(t\geq 0)\) pt (2) trở thành \(t^2+3t+2=0\) \(t=-1\) (loại) \(t=-2\) (loại) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=3\) 2. Bài tập nâng cao Bài 1: Giải phương trình: \((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\) Hướng dẫn: Ta sử dụng hằng đẳng thức \(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\) \((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\) \(\Leftrightarrow (x^2+2x-5+x^2-x+5)(x^2+2x-5-x^2+x-5)=0\) \(\Leftrightarrow (2x^2+x)(3x-10)=0\) Giải các phương trình cơ bản, ta dễ dàng suy ra \(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{2}\) hoặc \(x=\frac{10}{3}\) Bài 2: Giải phương trình \(2x+\sqrt{x}=8-11\sqrt{x}\) Hướng dẫn: Điều kiện:\(x\geq 0\) Khi đó, ta đặt \(t=\sqrt{x}(t\geq 0)\) Phương trình trở thành: \(2t^2+t=8-11t\Leftrightarrow 2t^2+12t-8=0\Leftrightarrow t^2+6t-4=0\) Giải phương trình bậc hai ẩn t, ta được: \(t=-3+\sqrt{13}\) (nhận)\(\Rightarrow x=(-3+\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13}\) \(t=-3-\sqrt{13}\) (loại) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=22-6\sqrt{13}\)
