Tóm tắt lý thuyết 1. Tóm tắt lí thuyết Để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức \((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=2\sqrt{2}\) Hướng dẫn: Ở bài toán này, ta có thể dùng phương pháp nhân từng thừa số vào rồi cộng các kết quả lại với nhau. Tuy nhiên, ta có thể quan sát và vận dụng theo cách sau: \((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=1+2\sqrt{2}+2-3=2\sqrt{2}\) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức \(\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}; x\neq -\sqrt{3}\) Hướng dẫn: \(\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}=\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x+\sqrt{3}}=x-\sqrt{3}\) Bài tập minh họa 1. Bài tập cơ bản Bài 1: Rút gọn biểu thức: \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\) Hướng dẫn: \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{\frac{5^2}{5}}+\sqrt{\frac{20}{2^2}}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\) Bài 2: Rút gọn biểu thức: \(0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}\) Hướng dẫn:\(0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}\) \(=0,1\sqrt{10^2.2}+\sqrt{2.}\sqrt{0,16}+0,4\sqrt{5^2.2}=\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=0,4\sqrt{2}+3\sqrt{2}\) \(=3,4.\sqrt{2}\) Bài 3: Chứng minh đẳng thức: \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\) Hướng dẫn: \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}\)\(=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)\(=\frac{9}{\sqrt{6}}+\frac{4}{\sqrt{6}}-\frac{12}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\) 2. Bài tập nâng cao Bài 1: Rút gọn biểu thức \(A=\frac{2x}{x+3}-\frac{x+1}{3-x}-\frac{3-11x}{x^2-9} ; x\not\equiv \pm 3\) Hướng dẫn: \(A=\frac{2x}{x+3}-\frac{x+1}{3-x}-\frac{3-11x}{x^2-9}\)\(=\frac{2x(x-3)}{(x+3)(x-3)}+\frac{(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{3-11x}{(x+3)(x-3)}\) \(=\frac{2x^2-6x+x^2+4x+3-3+11x}{(x+3)(x-3)}\)\(=\frac{3x^2+9x}{(x+3)(x-3)}=\frac{3x}{x-3}\) Bài 2: Cho biểu thức \(A=\left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right ):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1} ; a>0,a\neq 1\) \(B=1\) Hãy so sánh A và B Hướng dẫn: Ta có: \(A=\left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right ):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)\(=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{a}+1}\)\(=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=1-\frac{1}{\sqrt{a}}\) Vì \(a>0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}>0 \Rightarrow\) \(1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1\Rightarrow A \)
