Tóm tắt lý thuyết 1. Hàm số sin và hàm số cosin a) Hàm sốsin Xét hàm số \(y = \sin x\) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Tập giá trị: \([-1;1].\) Hàm số tuần hòa với chu kì \(2\pi \). Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}.\) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\). Đồ thị hàm số \(y = \sin x\) Đồ thị là một đường hình sin. Do hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số \(y = \sin x\): b) Hàm số cosin Xét hàm số \(y = \cos x\) Tập xác định: \(\mathbb{R}\) Tập giá trị: \([-1;1].\) Hàm số tuần hòa với chu kì: \(2\pi \) Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\). Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\). Đồ thị hàm số \(y = \cos x\) Đồ thị hàm số là một đường hình sin. Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số \(y = \cos x\): 2. Hàm số tan và hàm số cot a) Hàm số \(y = \tan x\) Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi.\) Tập giá trị là \(\mathbb{R}\). Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\) Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số \(y = \tan x\): b) Hàm số \(y = \cot x\) Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.\) Tập giá trị là \(\mathbb{R}.\) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi .\) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\) Đồ thị hàm số \(y = \cot x\) Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số \(y = \cot x\): Bài tập minh họa Ví dụ 1: Tìm tập xác định các hàm số sau: a) \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) b) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) c) \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)\) Lời giải: a) Hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(cosx\ne0\) hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\) b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\) c) Hàm số \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)\) xác định khi \(\frac{\pi }{3} - 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} - k\frac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\) Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1\) b) \(y=\sqrt{1+\cos2x}-5\) Lời giải: a) Ta có: \(- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 3\) \(\Rightarrow - 2 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4\) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2. b) Ta có: \(- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2\) \(\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \Rightarrow - 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} - 5 \le \sqrt 2 - 5\) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt2-5\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5. Ví dụ 3: Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau: a) \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) b) \(y = 2\cos 2x\) c) \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) Lời giải: Phương pháp: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức cuả hàm số đã cho về một dạng tối giản và lưu ý rằng: Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) có chu kì \(T=2\pi.\) Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì \(T=\pi.\) Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\) Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) có chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}.\) a) Hàm số \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\) b) Hàm số \(y = 2\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\) c) Hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .\)
