Tóm tắt lý thuyết 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)'} = n{x^{n - 1}}.\) Nhận xét: (c)'=0 (với c là hằng số). (x)'=1. Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\) 2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: \({\left( {u + v} \right)'} = {u'} + {v'}\) \({\left( {u - v} \right)'} = {u'} - {v'}\) \({\left( {u.v} \right)'} = {u'}.v + u.{v'}\) \(\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2},(v(x) \ne 0)\) Mở rộng: \(({u_1} + {u_2} + ... + {u_n})' = {u_1}' + {u_2}' + ... + {u_n}'.\) Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)'=ku'.\) Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)'} = - \frac{{ - v'}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\) \((u.v.{\rm{w}})' = u'.v.{\rm{w}} + u.v'.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}'\) 3. Đạo hàm với hàm hợp Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y'_u=y'_u.u'_x.\) Hệ quả: \(({u^n}) = n.{u^{n - 1}}.u',n \in \mathbb{N}^*.\) \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}.\) Bài tập minh họa Ví dụ 1: a) Cho hàm số f(x)=x6. Tính f'(x) và f'(1). b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9. Hướng dẫn giải: a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\) Vậy: \(f'(1) = 6.\) b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\) Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x.\) b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\) c) \(y=(x^2+3)^5.\) Hướng dẫn giải: a) \(y' = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x} \right)' = {x^2} - 4x + 3.\) b) \(y' = \left[ {({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})} \right]' = ({x^2} + 1)'(3 - 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})'\) \(= 2x(3 - 2{x^2}) - 4x({x^2} + 1) = - 8{x^3} + 2x.\) c) \(y' = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]' = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)' = 10x{({x^2} + 3)^4}.\) Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\) b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\) c) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}.\) Hướng dẫn giải: a) \(y' = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)' = \left( {\frac{1}{4}x} \right)' + \left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{1}{4} - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2}}}.\) b) \(y' = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\) c) \(y' = \left( {\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}} \right)' = \frac{{( - {x^2} + 2x + 3)'({x^3} - 2) - ( - {x^2} + 2x + 3)({x^3} - 2)'}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}\) \(= \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)({x^3} - 2) - 3{x^2}( - {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} - 4{x^3} - 9{x^2} + 4x - 4}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}.\) Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\) b) \(y = (x - 2)\sqrt {{x^2} + 1}\) c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) với a là hằng số. Hướng dẫn giải: a) \(y' = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)' = \left( {\frac{2}{x}} \right)' + \left( {5\sqrt x } \right)' = - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x - 4}}{{2{x^2}}}.\) b) \(y = \left[ {(x - 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]' = (x - 2)'\sqrt {{x^2} + 1} + (x - 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\) \(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x - 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x - 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\) c) \(y' = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)' = \frac{{\left( x \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\) \(= \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\frac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\) \(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\)
