Bài 1 trang 28 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a) \( sin (x + 2) =\frac{1}{3}\) b) \( sin 3x = 1\) c) \( sin (\frac{2x}{3} -\frac{\pi}{3}) =0\) d) \(sin (2x + 20^0) =-\frac{\sqrt{3}}{2}\) Giải: a) \(sin (x + 2) =\frac{1}{3}\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x+2=arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\ \\ x+2=\pi -arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\) và \(x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\) b) \(sin 3x = 1 \Leftrightarrow sin3x=sin\frac{\pi }{2}\) \(\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k2 \pi ,k\in \mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})\) Câu c: \(sin\left ( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right )=0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}= k\pi, k\in \mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k \pi,k\in \mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}, k\in Z\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2}, k\in Z\) d) \(sin(2x+20^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Leftrightarrow sin (2x +20^0) = sin(-60^0)\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ 2x+20^0=240^0+k360^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-40^0+k180^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=110^0+k180^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-40^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})\); \(x=110^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})\) Bài 2 trang 28 sgk giải tích 11. Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của các hàm số \(y = sin3x\) và \(y = sin x\) bằng nhau? Giải \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi \(\sin 3x = sinx \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 3x = x + k2\pi \hfill \cr 3x = \pi - x + k2\pi \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\). Vậy \(\left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 3 trang 28 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a) \( cos (x - 1) =\frac{2}{3}\) b) \(cos 3x = cos 12^0\) c) \(cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}\) d) \(cos^22x =\frac{1}{4}\) Trả lời: a) \(cos (x - 1) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x - 1 = arccos \frac{2}{3} + k2\pi\\ \\ x - 1 = - arccos \frac{2}{3} + k2\pi \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x = 1 + arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z) \\ \\ x = 1 - arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z). \end{matrix}\) Vậy nghiệm phương trình là \(x = 1 + arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z)\) hoặc \(x = 1 - arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z).\) b) \(cos 3x = cos 12^0\Leftrightarrow 3x = \pm 12^0 + k360^0 (k\in \mathbb{Z})\) \(\Leftrightarrow x = \pm 4^0 + k120^0 , (k \in Z).\) Vậy nghiệm phương trình là \(x = \pm 4^0 + k120^0 , (k \in Z).\) c) \(cos\left ( \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow cos\left ( \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right )=cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3} \right )\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+k2 \pi\\ \\ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{2\pi }{3}+k2 \pi \end{matrix},(k\in \mathbb{Z})\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{11\pi }{18}+k.\frac{4\pi }{3} \\ \\ x=-\frac{5\pi}{18}+k.\frac{4\pi }{3} \end{matrix},(k\in \mathbb{Z})\) Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{11\pi }{18}+\frac{4 k\pi }{3}\) và \(x=-\frac{5\pi}{18}+\frac{4 k\pi }{3} (k\in \mathbb{Z})\) d) \(cos^22x =\frac{1}{4}\Leftrightarrow\) \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=\frac{1}{2}\\ \\ cos2x=-\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=cos \frac{\pi }{3}\\ \\ cos2x= cos\frac{2\pi }{3} \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\pm \frac{\pi }{3} + k2 \pi\\ \\ 2x=\pm \frac{2\pi }{3} + k2 \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \pm \frac{\pi }{6} +k \pi\\ \\ x= \pm \frac{\pi }{3} +k \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\) Vậy nghiệm phương trình là \(x= \pm \frac{\pi }{6} +k \pi\) và \(x= \pm \frac{\pi }{3} +k \pi, k\in \mathbb{Z}\). Bài 4 trang 29 sgk giải tích 11. Giải phương trình \({{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\) Giải: Điều kiện \(sin2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \frac{\pi }{2}+k2 \pi\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{4}+k \pi(k\in \mathbb{Z})\) \({{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\Rightarrow 2cos2x=0\) Phương trình đã cho tương đương với: \(cos2x=0 \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi\\ \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k\pi \ \ (loai)\\ \\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z}) \end{matrix}\) Vậy nghiệm phương trình là \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\). Bài 5 trang 29 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a) \( tan (x - 150) = \frac{\sqrt{3}}{3}\); b) \( cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\); c) \( cos 2x . tan x = 0\); d) \( sin 3x . cot x = 0\). Giải a) Điều kiện \(x - 15^0\neq 90^0+k180^0\) hay \(x\neq 105^0+k.180^0.\) \(tan (x - 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0\), với điều kiện: Ta có phương trình \(tan (x - 15^0) = tan30^0\) \(\Leftrightarrow x - 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\) \(\Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\) (thoả điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\) b) \(cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\), với điều kiện \(3x-1\neq k\pi (k\in \mathbb{Z})\) hay \(x\neq \frac{1+k \pi}{3}(k\in \mathbb{Z})\) Ta có phương trình \(cot (3x - 1) = cot(-\frac{\pi }{6})\) \(\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\) (thoả điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\) c) \(cos2x.tanx=0 \Leftrightarrow \cos 2x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\), với điều kiện \(cosx\neq 0\) \(\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\), ta có phương trình: \(cos2x . sinx = 0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=0\\ sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}\\ x=k \pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})\) (thoả điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})\) hoặc \(x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\) d) \(sin 3x . cot x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0\), với điều kiện \(sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k.\pi (k\in \mathbb{Z})\) Ta có phương trình \(sin3x.cos = 0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sin3x=0\\ cosx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 3x=k\pi\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k \pi}{3}\\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}(k \in \mathbb{Z})\) So sánh với điều kiện ta thấy khi \(k = 3m,m \in \mathbb{Z}\) thì \(x = m\pi \Rightarrow \sin x = 0\) không thỏa điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\frac{k \pi}{3}\) và \(x=\frac{\pi }{2}+k \pi (k \neq 3m, m\in \mathbb{Z})\) Bài 6 trang 29 sgk giải tích 11. Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của các hàm số \(y = tan ( \frac{\pi}{4}- x)\) và \(y = tan2x\) bằng nhau? Giải: Giá trị của các hàm số: \(tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\) và \(y=tan 2x\) bằng nhau khi: Ta có \(tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=tan2x \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi\) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}(k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z})\) Vậy phương trình có nghiệm: \(x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}(k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z})\) Bài 7 trang 29 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a) \(sin 3x - cos 5x = 0\) ; b) \(tan 3x . tan x = 1\). Đáp án : a) \(sin 3x - cos 5x = 0 \Leftrightarrow cos 5x = sin 3x\) \(\Leftrightarrow cos 5x = cos (\frac{\pi }{2} - 3x)\) \(\Rightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 5x= \frac{\pi }{2}-3x+k2 \pi \\ \\ 5x =- \frac{\pi }{2}+3x +k2 \pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})\) \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} \\ \\ x=-\frac{\pi }{4} +k\pi \end{matrix}, (k\in Z)\) Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} (k\in Z)\) và \(x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, (k\in \mathbb{Z})\) b) \(tan 3x . tan x = 1\) Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} cos3x \neq 0\\ \\ cosx \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{6}+k.\frac{\pi }{3}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{2} +k.\pi \end{matrix}\right. (k\in \mathbb{Z})\) \(tan3x.tanx=1\Rightarrow tan3x=\frac{1}{tanx}\Rightarrow tan3x=cotx\) \(\Leftrightarrow tan3x=tan\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )\) \(\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-x+k \pi(k\in \mathbb{Z})\) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\).
