Bài 1 trang 57 sgk đại số và giải tích 11. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn: a) \({\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b} \right)^5}\); b) \({\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)^6}\) c) \({\left( {x - {1 \over x}} \right)^{13}}\) Bài giải: a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có: \({(a + 2b)^5} = {a^5} + 5{a^4}.2b + 10{a^3}.{(2b)^2} + 10{a^2}{(2b)^3}\) \(+ 5a.{(2b)^4} + {(2b)^5}\)\(={a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\) b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có: \({\left( {a - \sqrt 2 } \right)^6} = {a^6} + 6{a^5}\left( { - \sqrt 2 } \right) + 15{a^4}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} \) \(+ 20{a^3}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 15{a^{^2}}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + 6a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\) \(+ {\left( { - \sqrt 2 } \right)^6}\)\(={a^6} - 6\sqrt 2 {a^5} + 30{a^4}- 40\sqrt 2 {a^3}\) \(+ 60{a^2} - 24\sqrt 2 a + 8\) c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có: \({\left( {x - {1 \over x}} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 - k}}{{\left( { - {1 \over x}} \right)}^k} = }\) \(\sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{{( - 1)}^k}{x^{13 - 2k}}} \) Nhận xét: Trong trường hợp số mũ \(n\) khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển. Bài 2 trang 58 sgk đại số và giải tích 11. Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức: \({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}\). Bài giải: \({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} .{x^{6 - k}}{\left( {{2 \over {{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} {.2^k}.{x^{6 - 3k}}\) Trong tổng này, số hạng \(\sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} {.2^k}.{x^{6 - 3k}}\) có số mũ của \(x\) bằng \(3\) khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} 6 - 3k = 3& & \\ 0 \leq k \leq 6& & \end{matrix}\right.\)\( ⇔ k = 1\). Do đó hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức đã cho là: \(2C_6^1 = 2.6 = 12\) Bài 3 trang 58 sgk đại số và giải tích 11. Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1 - 3x)^n\) là \(90\). Tìm \(n\). Bài giải: Với số thực \(x ≠ 0 \) và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có: \({(1 - 3x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3x)}^k} = } \) \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3)}^k}.{x^k}} \) Suy ra hệ số của \(x^2\) trong khai triển này là \({(-3)^2}C_n^2\).Theo giả thiết, ta có: \({(-3)^2}C_n^2 = 90 \Rightarrow C_n^2 = 10\). Từ đó ta có: \(\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 10\)\( ⇔ n(n - 1) = 20\). \(⇔ n^2 – n – 20 = 0 ⇔ n = -4\) (loại) hoặc \(n = 5\) (thỏa mãn). Bài 4 trang 58 sgk đại số và giải tích 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {{x^3} + {1 \over x}} \right)^8}\) Bài giải: Ta có: \({\left( {{x^3} +4 {1 \over x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{3.(8 - k)}}{\left( {{1 \over x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\) Trong tổng \(\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\) số hạng không chứa \(x\) khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} 24 - 4k = 0 & & \\ 0\leq k \leq 8& & \end{matrix}\right.\) \(⇔ k = 6\). Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là \({C^6}_8 = {\rm{ }}28\). Bài 5 trang 58 sgk đại số và giải tích 11. Từ khai triển biểu thức \((3x – 4)^{17}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được: Bài giải: Tổng các hệ số của đa thức \(f(x) = (3x – 4)^{17}\) bằng: \(f(1) = (3 – 4)^{17}= (– 1)^{17} = -1\). Bài 6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng: a) \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\); b) \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\); c) \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên. Bài giải: a) \({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\) \(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\) \(= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} + \ldots + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\) Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\). b) Ta có \({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\) \(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... + \) \(C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\) \( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\) Tổng sau cùng chia hết cho \(10 000\) suy ra \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\). c) \({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \) \(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\) \(= 1 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... - C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}}\) \(+ {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\) \(\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\)= \( 2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]\) \(= 2\left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right)\) Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.
