Bài 1 trang 140 sgk đại số 11. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = x^3+ 2x - 1\) tại \(x_0= 3\). Giải: Hàm số \(f(x) = x_3+ 2x - 1\) xác định trên \(\mathbb R\) và \(x_0= 3 ∈ \mathbb R\). \(\underset{x\rightarrow 3}{lim} f(x) =\) \(\underset{x\rightarrow 3}{lim}( x^3+ 2x - 1) = 3^3+ 2.3 - 1 = f(3)\) nên hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x_0= 3\). Bài 2 trang 141 sgk đại số 11. a) Xét tính liên tục của hàm số \(y = g(x)\) tại \(x_0= 2\), biết \(g(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}-8}{x- 2}; &x\neq 2 \\ 5;& x=2 \end{matrix}\right.\). b) Trong biểu thức xác định \(g(x)\) ở trên, cần thay số \(5\) bởi số nào để hàm số liên tục tại \(x_0= 2\). Giải: a) Ta có \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} g(x) = \)\(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{x^{3}-8}{x-2}\) = \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^2+2x + 4) = 2^2+2.2 +4 = 12\). Vì \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} g(x) ≠ g(2)\) nên hàm số \(y = g(x)\) gián đoạn tại \(x_0= 2\). b) Để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x_0= 2\) thì ta cần thay số \(5\) bởi số \(12\). Bài 3 trang 141 sgk đại số 11. Cho hàm số \(f(x) = \left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.\) a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh. Giải: a) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại \(x_0= -1\). Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((- 1; +∞)\). b) +) Nếu \(x < -1\): \(f(x) = 3x + 2\) liên tục trên \((-∞; -1)\) (vì đây là hàm đa thức). +) Nếu \(x> -1\): \(f(x) = x^2- 1\) liên tục trên \((-1; +∞)\) (vì đây là hàm đa thức). +) Tại \(x = -1\); Ta có \(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} f(x) = \)\(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} (3x + 2) = 3(-1) +2 = -1\). \(\underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} (x^2- 1) = (-1)^2- 1 = 0\). Vì \(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} f(x) ≠ \underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} f(x)\) nên không tồn tại \(\underset{x\rightarrow -1}{lim} f(x)\). Vậy hàm số gián đoạn tại \(x_0= -1\). Bài 4 trang 141 sgk đại số 11. Cho hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{x^{2}+x-6}\) và \(g(x) = tanx + sin x\). Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục. Giải: +) Hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{x^{2}+x-6}\) xác định khi và chỉ khi \(x^2+ x - 6 ≠ 0 \Leftrightarrow x ≠ -3\) và \(x ≠ 2\). Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((-∞; -3), (-3; 2)\) và \((2; +∞)\) +) Hàm số \(g(x) = tanx + sinx\) xác định khi và chỉ khi \(tanx ≠ 0\Leftrightarrow x ≠ \frac{\pi }{2} +kπ\) với \(k ∈ Z\). Hàm số \(g(x)\) liên tục trên các khoảng \(( - \frac{\pi }{2}+kπ; \frac{\pi }{2}+kπ)\) với \(k ∈ \mathbb Z\). Bài 5 trang 141 sgk đại số 11. Ý kiến sau đúng hay sai ? "Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) còn hàm số \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\) thì \(y = f(x) + g(x)\) là một hàm số không liên tục tại \(x_0\)" Giải: Ý kiến đúng Giả sử ngược lại \(y = f(x) + g(x)\) liên tục tại \(x_0\). Đặt \(h(x) = f(x) + g(x)\). Ta có \(g(x) = h(x) - f(x)\). Vì \(y = h(x)\) và \(y = f(x)\) liên tục tại \(x_0\) nên hiệu của chúng là hàm số \(y = g(x)\) phải liên tục tại \(x_0\). Điều này trái với giả thiết là \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\). Bài 6 trang 141 sgk đại số 11. Chứng minh rằng phương trình: a) \(2x^3- 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm; b) \(cosx = x\) có nghiệm. Giải: a) Hàm số \(fx)=2x^3-6x + 1 = 0\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\). Ta có: \(f(0).f(1) = 1.(-3) < 0\) nên phương trình có nghiệm trong khoảng \((0; 1)\). \(f(-2).f(0)=-5<0\) nên phương trình có nghiệm trong khoảng \((-2; 0)\). Do đó phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm. b) Hàm số \(g(x) = cosx - x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\). Mặt khác, ta có \(g(0).g(\frac{\pi }{2}) = 1. (-\frac{\pi }{2}) < 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng \((0; \frac{\pi }{2})\).
