Đại số và Giải tích 11 cơ bản - Chương 5 - Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 1 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{x-1}{5x-2}\);

b) \(y = \frac{2x+3}{7-3x}\);

c) \(y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\);

d) \(y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\).

Lời giải:

a) \( y'=\frac{\left ( x-1 \right )'.\left ( 5x-2 \right )-\left ( x-1 \right ).\left ( 5x-2 \right )'}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\) = \( \frac{5x-2-\left ( x-1 \right ).5}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\) = \( \frac{3}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\).

b) \( y'=\frac{\left ( 2x+3 \right )'.\left ( 7-3x \right )-\left ( 2x+3 \right ).\left ( 7-3x \right )'}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\) = \( \frac{2\left ( 7-3x \right )-\left ( 2x+3 \right ).\left ( -3 \right )}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\) = \( \frac{23}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\).

c) \( y'=\frac{\left ( x^{2}+2x+3 \right )'.\left ( 3-4x \right )-\left ( x^{2} +2x+3\right ).\left ( 3-4x \right )'}{\left ( 3-4x \right )^{2}}\) = \( \frac{\left ( 2x+2 \right ).\left ( 3-4x \right )-\left ( x^{2}+2x+3 \right ).(-4)}{(3-4x)^{2}}\) = \( \frac{-2(2x^{2}-3x-9)}{(3-4x)^{2}}\).

d) \( y'=\frac{(x^{2}+7x+3)'.(x^{2}-3x)-(x^{2}+7x+3).(x^{2}-3x)'}{(x^{2}-3x)^{2}}\) = \( \frac{(2x-7).(x^{2}-3x)-(x^{2}+7x+3).(2x-3)}{(x^{2}-3x)^{2}}\) = \( \frac{-10x^{2}-6x+9}{(x^{2}-3x)^{2}}\).


Bài 2 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Giải các bất phương trình sau:

a) \(y'<0\) với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)

b) \(y'≥0\) với \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\);

c) \(y'>0\) với \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\).

Lời giải:

a) Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+x+2)'.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)'}{(x-1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)

Do đó, \(y'<0\Leftrightarrow \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne 1 \hfill \cr
- 1 < x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \)\(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\).

b) Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+3)'.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)'}{(x+1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}\).

Do đó, \(y'≥0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\).

c).Ta có \( y'=\frac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^{2}+x+4)}=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}\).

Do đó, \(y'>0 \Leftrightarrow \frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0\Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 \)\(\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\)

Vì \(x^2+x +4 =\) \( \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}\)+ \( \frac{15}{4} >0\), với \(∀ x ∈ \mathbb R\).


Bài 3 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 5sinx -3cosx\);

b) \( y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\);

c) \(y = x cotx\);

d) \(y = \frac{sinx}{x}\) + \( \frac{x}{sinx}\);

e) \(y = \sqrt{(1 +2tan x)}\);

f) \(y = sin\sqrt{(1 +x^2)}\).

Lời giải:

a) \(y'=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx\);

b) \( y'={{(sinx+cos x)'.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)'}\over{(sin x-cos x)^{2}}}\) = \( {{(cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx)}\over{(sin x-cosx )^{2}}}\) = \( {{-2}\over{(sin x-cos x)^{2}}}\).

c) \(y' = cotx +x. \left ( -\frac{1}{sin^{2}x} \right )= cotx - \frac{x}{sin^{2}x}\).

d) \( y'=\frac{(sin x)'.x-sin x.(x)'}{x^{2}}\) +\( \frac{(x)'.sin x-x(sin x)'}{sin^{2}x}\) = \( \frac{x.cosx-sinx}{x^{2}}+\frac{sin x-x.cosx}{sin^{2}x}\)\( = (x. cosx -sinx) \left ( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{sin^{2}x} \right )\).

e) \( y'=\frac{(1+2tanx)'}{2\sqrt{1+2tanx}}\) = \( \frac{\frac{2}{cos^{2}x}}{2\sqrt{1+2tanx}}\) = \( \frac{1}{cos^{2}x\sqrt{1+2tanx}}\).

f) \(y' = (\sqrt{(1+x^2)})' cos\sqrt{(1+x^2)} \)\(= \frac{(1+x^{2})'}{2\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{(1+x^2)} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{(1+x^2)}\).


Bài 4 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \left( {9 - 2x} \right)(2{x^3} - 9{x^2} + 1)\);

b) \(y = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)\);

c) \(y = (x -2)\sqrt{(x^2+1)}\);

d) \(y = tan^2x +cotx^2\);

e) \(y = cos\frac{x}{1+x}\).

Lời giải:

a) \(y' = \left( {9 - 2x} \right)'(2{x^3} - 9{x^2} + 1) + \left( {9 - 2x} \right)(2{x^3} - 9{x^2} + 1)'\)

\(= - 2(2{x^3} - 9{x^2} + 1) + \left( {9 - 2x} \right)(6{x^2} - 18x) \)

\(= - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2\).

b) \(y' = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )'.(7x -3) +\left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)'\)

\(= \left ( \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{2}{x^{3}}\right )(7x -3) +7 \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )\).

c) \(y' = (x -2)'\sqrt{(x^2+1)} + (x -2)\sqrt {(x^2+1)}' \)

\(= \sqrt {(x^2+1)} + (x -2)\frac{\left ( x^{2}+1 \right )'}{2\sqrt{x^{2}+1}}\)

\(= \sqrt {(x^2+1)} + (x -2) \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\)

\( = \sqrt {(x^2+1)} + \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\) = \( \frac{2x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\).

d) \(y' = 2tanx.(tanx)' - (x^2)' \left ( -\frac{1}{sin^{2}x^{2}} \right )\) = \( \frac{2tanx}{cos^{2}x}+\frac{2x}{sin^{2}x^{2}}\).

e) \(y' = \left ( \frac{1}{1+x} \right )'sin \frac{x}{1+x}\) = \( -\frac{1}{(1+x)^{2}}sin \frac{x}{1+x}\).



Bài 5 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Tính \( \frac{f'(1)}{\varphi '(1)}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(φ(x) = 4x +sin \frac{\pi x}{2}\).

Lời giải:

Ta có \(f'(x) = 2x\), suy ra \(f'(1) = 2\)

và \(φ'(x) = 4 + \left ( \frac{\pi x}{2} \right )'. cos \frac{\pi x}{2} = 4 + \frac{\pi }{2}. cos \frac{\pi x}{2}\), suy ra \(φ'(1) = 4\).

Vậy \( \frac{f'(1)}{\varphi '(1)}\) = \( \frac{2}{4}\) = \( \frac{1}{2}\).



Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\);

b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) + {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2} \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\).

Lời giải:

a) Ta có:

\(y' = 6{\sin ^5}x.\cos x - 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x - 6{\sin ^3}x.\cos x\)

\(= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x - 1) + 6\sin x.\cos^3 x(1 - {\cos ^2}x)\)

\(= - 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\).

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

b)

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)

\(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

\(y' =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )\)

\(- 2\sin 2x = 2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),

vì \(\cos \frac{2\pi }{3}\) = \(\cos \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).



Bài 7 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:

a) \(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\);

b) \(f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\).

Lời giải:

a) \(f'(x) = - 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5\)

\(\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x - \frac{4}{5}\ cos x = 1\). (1)

Đặt \(\cos φ = \frac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ = \frac{4}{5}\), ta có:

(1) \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ - \cos x.\sin φ = 1 \Leftrightarrow \sin(x - φ) = 1\)

\(\Leftrightarrow x - φ = \frac{\pi }{2} + k2π \Leftrightarrow x = φ + \frac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\).

b) \(f'(x) = - \cos(π + x) - \sin \left (\pi + \frac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin \frac{x }{2}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \frac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x }{2} = - cosx\)

\(\Leftrightarrow sin \frac{x }{2} = sin \left (x-\frac{\pi}{2}\right )\)

\(\Leftrightarrow \frac{x }{2}= x-\frac{\pi}{2}+ k2π\) hoặc \( \frac{x }{2} = π - x+\frac{\pi}{2}+ k2π\)

\(\Leftrightarrow x = π - k4π\) hoặc \(x = π + k \frac{4\pi }{3}\), \((k ∈ \mathbb Z)\).



Bài 8 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:

a) \(f(x) = x^3+ x - \sqrt2\), \(g(x) = 3x^2+ x + \sqrt2\) ;

b) \(f(x) = 2x^3- x^2+ \sqrt3\), \(g(x) = x^3+ \frac{x^{2}}{2} - \sqrt 3\).

Lời giải:

a) Ta có \(f'(x) = 3x^2+ 1\), \(g'(x) = 6x + 1\). Do đó

\(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 \Leftrightarrow 3x^2- 6x >0\)

\(\Leftrightarrow 3x(x - 2) > 0 \Leftrightarrow x > 2\) hoặc \(x > 0\)

\(\Leftrightarrow x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)\).

b) Ta có \(f'(x) = 6x^2- 2x\), \(g'(x) = 3x^2+ x\). Do đó

\(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow 6x^2- 2x > 3x^2+ x \Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0\)

\(\Leftrightarrow 3x(x - 1) > 0 \Leftrightarrow x > 1\) hoặc \(x < 0\)

\(\Leftrightarrow x ∈ (-∞;0) ∪ (1;+∞)\).