Câu 1 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau : a. \(y = \sqrt {3 - \sin x} \) ; b. \(y = {{1 - \cos x} \over {\sin x}}\) c. \(y = \sqrt {{{1 - \sin x} \over {1 + \cos x}}} \) d. \(y = \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\) Giải: a. Vì \(-1 ≤ sinx ≤ 1\) nên \(3 – sinx > 0\) với mọi \(x\) nên tập xác định của hàm số là: \(D =\mathbb R\) b. \(y = {{1 - \cos x} \over {\sin x}}\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x ≠ 0\) \(⇔ x ≠ kπ, k \in\mathbb Z\) Vậy tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ kπ , k \in \mathbb Z\right\}\) c. Vì \(1 – sinx ≥ 0\) và \(1 + cosx ≥ 0\) nên hàm số xác định khi và chỉ khi \(cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π + k2π, k \in\mathbb Z\) Vậy tập xác định \(D =\mathbb R\backslash\left\{ π + k2π , k \in\mathbb Z\right\}\) d. \(y = \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\) xác định ⇔ \(\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\) \( \Leftrightarrow 2x + {\pi \over 3} \ne {\pi \over 2} + k\pi \Leftrightarrow {\pi \over {12}} + k{\pi \over 2},k \in \mathbb Z\) Vậy tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {{\pi \over {12}} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\}\) Câu 2 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau : a. \(y = -2\sin x\) b. \(y = 3\sin x – 2\) c. \(y=\sin x – \cos x\) d. \(y = \sin x\cos^2 x+ \tan x\) Giải: a. \(f(x) = -2\sin x\) Tập xác định \(D =\mathbb R\), ta có \(f(-x) = -2\sin (-x) = -f(x), ∀x \in\mathbb R\) Vậy \(y = -2\sin x\) là hàm số lẻ. b. \(f(x) = 3\sin x – 2\) Ta có: \(f\left( {{\pi \over 2}} \right) = 1;f\left( { - {\pi \over 2}} \right) = - 5\) \(f\left( { - {\pi \over 2}} \right) \ne - f\left( { - {\pi \over 2}} \right)\) và \(f\left( { - {\pi \over 2}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 2}} \right)\) nên hàm số \(y = 3\sin x – 2\) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. c. \(f(x) = \sin x – \cos x\) Ta có: \(f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 0;f\left( { - {\pi \over 4}} \right) = - \sqrt 2 \) \(f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne - f\left( {{\pi \over 4}} \right)\) và \(f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 4}} \right)\) nên \(y = \sin x – \cos x\) không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn. d. \(f\left( x \right) = \sin x{\cos ^2}x + \tan x\) Tập xác định \(D = \mathbb R \backslash \left\{{\pi \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z \right\}\) \(∀x \in D\) ta có \(– x \in D\) và \(\eqalign{ & f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right){\cos ^2}\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right) \cr & = - \sin x{\cos ^2}x - \tan x = - f\left( x \right) \cr} \) Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. Câu 3 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau : a. \(y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3\) b. \(y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\) c. \(y = 4\sin \sqrt x \) Giải a. Ta có: \(-1 ≤ \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) ≤ 1\) \(\eqalign{ & \Rightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \le 2\cr& \Rightarrow 1 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3 \le 5 \Rightarrow 1 \le y \le 5 \cr &\text{ Vậy }\cr&\min \,y = 1\,khi\,x + {\pi \over 3} = \pi + k2\pi \,\cr&\,\,\,\,\,\,\,\text{ khi} \,x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr &\max \,y = 5\,khi\,x + {\pi \over 3} = k2\pi \,\text{ khi} \,x = - {\pi \over 3} + k2\pi \cr&\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \) b. Ta có: \(0 \le 1 - \sin {x^2} \le 2\) \(\Rightarrow - 1 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}} - 1 \le \sqrt 2 - 1 \) \(\Rightarrow - 1 \le y \le \sqrt 2 - 1\) \(\eqalign{ & \text{ Vậy }\,\min \,y = - 1\,\text{ khi} \,{x^2} = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in\mathbb Z \cr &\max\,y = \sqrt 2 - 1\text{ khi}\,{x^2} = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k > 0,k \in \mathbb Z \cr} \) c. Ta có: \( - 1 \le \sin \sqrt x \le 1 \Rightarrow - 4 \le 4\sin \sqrt x \le 4\) \(⇒ -4 ≤ y ≤ 4\) \(\eqalign{ & \text{ Vậy }\cr&\min \,y = - 4\,\text{ khi}\,\sqrt x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k > 0,k \in\mathbb Z \cr & \max \,y = 4\,\text{ khi}\,\sqrt x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in\mathbb Z \cr} \) Câu 4 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho các hàm số \(f(x) = \sin x, g(x) = \cos x, h(x) = \tan x\) và các khoảng \({J_1} = \left( {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right);{J_2} = \left( { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right);{J_3} = \left( {{{31\pi } \over 4};{{33\pi } \over 4}} \right);{J_4} = \left( { - {{452\pi } \over 3};{{601\pi } \over 4}} \right)\) Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng \(J_1\) ? Trên khoảng \(J_2\) ? Trên khoảng \(J_3\) ? Trên khoảng \(J_4\) ? (Trả lời bằng cách lập bảng). Giải \({J_3} = \left( {8\pi - {\pi \over 4};8\pi + {\pi \over 4}} \right),{J_4} = \left( { - 150\pi - {{2\pi } \over 3}; - 105\pi - {\pi \over 4}} \right)\) Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” : Hàm sốJ1J2J3J4\(f(x) = \sin x\)0++0\(g(x) = \cos x\)+00+\(h(x) = \tan x\)+++0 Câu 5 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao ? a. Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \sin x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến. b. Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \sin^2 x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cos^2 x\) nghịch biến. Giải: a. Sai vì trên khoảng \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) hàm số \(y = \sin x\) đồng biến nhưng hàm số \(y = \cos x\) không nghịch biến. b. Đúng do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) Giả sử \(y = \sin^2 x\) đồng biến trên khoảng \(I\), khi đó với \(x_1,x_2\in I\) và \(x_1<x_2\) thì \({\sin ^2}{x_1}< {\sin ^2}{x_2}\) \( \Rightarrow 1 - {\sin ^2}{x_1} > 1 - {\sin ^2}{x_2} \Rightarrow {\cos ^2}{x_1} > {\cos ^2}{x_2}\) \(⇒ y = \cos^2 x\) nghịch biến trên \(I\). Câu 6 trang 15 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(y = f(x) = 2\sin 2x\) a. Chứng minh rằng với số nguyên \(k\) tùy ý, luôn có \(f(x + kπ) = f(x)\) với mọi \(x\). b. Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = 2\sin 2x\) trên đoạn \(\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right].\) c. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = 2\sin 2x\). Giải a. Ta có \(f(x + kπ) = 2\sin 2(x + kπ) = 2\sin (2x + k2π) = 2\sin 2x = f(x), ∀ x \in\mathbb R\) b. Bảng biến thiên : c. Đồ thị : Câu 7 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau : a. \(y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) b. \(y = \tan \left| x \right|\) c. \(y = \tan x - \sin 2x.\) Giải a. Ta có: \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right),f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 1,f\left( { - {\pi \over 4}} \right) = 0 \cr & f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 4}} \right)\,va\,f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne - f\left( {{\pi \over 4}} \right) \cr} \) Nên \(y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. b. \(f(x) = \tan|x|\). Tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ {{\pi \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z} \right\}\) \(x \in D ⇒ -x \in D\) và \(f(-x) = \tan |-x| = \tan |x| = f(x)\) Do đó \(y = \tan |x|\) là hàm số chẵn. c. \(f(x) = \tan x – \sin 2x\). Tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ {{\pi \over 2} + k\pi ,k \in\mathbb Z} \right\}\) \(x \in D ⇒ -x \in D\) và \(f(-x) = \tan(-x) – \sin(-2x)\) \(= -\tan x + \sin 2x = -(\tan x – \sin 2x) = -f(x)\) Do đó \(y = \tan x – \sin 2x\) là hàm số lẻ. Câu 8 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho các hàm số sau : a. \(y = - {\sin ^2}x\) b. \(y = 3{\tan ^2}x + 1\) c. \(y = \sin x\cos x\) d. \(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\) Chứng minh rằng mỗi hàm số \(y = f(x)\) đó đều có tính chất : \(f(x + kπ) = f(x)\) với \(k \in\mathbb Z\), \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(f\). Giải Với \(k \in\mathbb Z\) ta có : a. \(f(x) = -\sin^2 x\) \(f(x + kπ) = -\sin^2(x + kπ) = - {\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^k}\sin x} \right]^2} = - {\sin ^2}x = f\left( x \right)\) b. \(\eqalign{ & f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1 \cr & f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 = 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right) \cr} \) c. \(f(x) = \sin x\cos x\) \(\eqalign{ & f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x.{\left( { - 1} \right)^k}\cos x \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin x\cos x = f\left( x \right) \cr} \) d. \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr & f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x{\left( { - 1} \right)^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left( x \right) \cr} \) Câu 9 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(y = f(x) = A\sin(ωx + ∝)\) (\(A, ω\) và \(∝\) là những hằng số ; \(A\) và \(ω\) khác \(0\)). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \(k\)), ta có \(f\left( {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right) = f\left( x \right)\) với mọi \(x\). Giải Với \(k \in \mathbb Z\) ta có : \(\eqalign{ & f\left( {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right) = A\sin \left[ {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right] \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A\sin \left( {\omega x + \alpha + k2\pi } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) = f\left( x \right) \cr} \) Câu 10 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình \(y = {x \over 3}\) với đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn \(\sqrt {10} \) Giải Đường thẳng \(y = {x \over 3}\) đi qua các điểm \(E(-3 ; -1)\) và \(F(3 ; 1)\) Chỉ có đoạn thẳng \(EF\) của đường thẳng đó nằm trong dải \(\left\{ {\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right)| - 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1} \right\}\) (dải này chứa đồ thị cuả hàm số \(y = \sin x\)). Vậy các giao điểm của đường thẳng \(y = {x \over 3}\) với đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) phải thuộc đoạn \(EF\) ; mọi điểm của đoạn thẳng này cách \(O\) một khoảng dài hơn \(\sqrt {9 + 1} = \sqrt {10} \) (và rõ ràng \(E, F\) không thuộc đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)). Câu 11 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Từ đồ thị của hàm số \(y = \sin x\), hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó : a. \(y = -\sin x\) b. \(y = \left| {\sin x} \right|\) c. \(y = \sin|x|\) Giải a. Đồ thị của hàm số \(y = -\sin x\) là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số \(y = \sin x\) b. Ta có: \(\left| {\sin x} \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,\sin x \ge 0} \cr { - \sin x\,\text{ nếu }\,\sin x < 0} \cr} } \right.\) do đó đồ thị của hàm số \(y = |\sin x|\) có được từ đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \sin x\) bằng cách : - Giữ nguyên phần đồ thị của \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(y ≥ 0\) (tức nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ \(Ox\)). - Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(y < 0\) (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ \(Ox\)); - Xóa phần đồ thị của \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(y < 0\). - Đồ thị \(y = |\sin x|\) là đường liền nét trong hình dưới đây : c. Ta có: \(\sin \left| x \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,x \ge 0} \cr { - \sin x\,\text{ nếu }\,x < 0} \cr} } \right.\) do đồ thị của hàm số \(y = \sin|x|\) có được từ đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \sin x\) bằng cách : - Giữ nguyên phần đồ thị của \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(x ≥ 0\) (tức nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ \(Oy\)). - Xóa phần đồ thị của \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(x < 0\) (tức nửa mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ \(Oy\)). - Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị \((C)\) nằm trong nửa mặt phẳng \(x > 0\) - Đồ thị \(y = \sin|x|\) là đường nét liền trong hình dưới đây : Câu 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a. Từ đồ thị của hàm số \(y = \cos x\), hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó : \(y = \cos x + 2\) \(y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ? Giải: a. Đồ thị của hàm số \(y = \cos x + 2\) có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) lên trên một đoạn có độ dài bằng \(2\), tức là tịnh tiến theo vectơ \(2\overrightarrow j (\overrightarrow j = \left( {0,1} \right)\) là vecto đơn vị trên trục tung). Đồ thị của hàm số \(y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx sang phải một đoạn có độ dài \({\pi \over 4}\), tức là tịnh tiến theo vexto \({\pi \over 4}\overrightarrow i (\overrightarrow i = \left( {1,0} \right)\) là vecto đơn vị trên trục hoành). b. Các hàm số trên đều là hàm tuần hoàn vì : nếu \(f(x) = \cos x + 2\) thì \(f(x + 2π) = \cos(x + 2π) + 2\) \(= \cos x + 2 = f(x), ∀x \in\mathbb R\) Và nếu \(g(x) = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) thì \(g(x + 2π) = \cos \left( {x + 2\pi - {\pi \over 4}} \right)=\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = g\left( x \right)\) , \(∀x \in\mathbb R\) Câu 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos {x \over 2}\) a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \(k\), \(f(x + k4π) = f(x)\) với mọi \(x\). b. Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = \cos {x \over 2}\) trên đoạn \([-2π ; 2π]\). c. Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \cos {x \over 2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxy\). d. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét phép biến hình \(F\) biến mỗi điểm \((x ; y)\) thành điểm \((x'; y')\) sao cho \(x'= 2x\) và \(y'= y\). Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị của hàm số \(y = \cos {x \over 2}.\) Giải a. \(f\left( {x + k4\pi } \right) = \cos \left( {{x \over 2} + k2\pi } \right) = \cos {x \over 2} = f\left( x \right)\) b. Bảng biến thiên : c. d. Nếu đặt \(x'= 2x, y'= y\) thì \(y = \cos x\) khi và chỉ khi \(y' = \cos {{x'} \over 2}\). Do đó phép biến đổi xác đinh bởi \((x ; y) ↦ (x' ; y')\) sao cho \(x' = 2x, y'= y\) biến đồ thị hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị hàm số \(y = \cos {x \over 2}.\)
