Câu 1 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 : a. \({{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}\) b. \({{\sin n} \over {n + 5}}\) c. \({{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}\) Giải: a. Ta có: \(\left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}} \right| = {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}} = 0\) b. \(\left| {{{\sin n} \over {n + 5}}} \right| \le {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {{\sin n} \over {n + 5}} = 0\) c. \(\left| {{{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}} \right| \le {1 \over {\sqrt n + 1}} < {1 \over {\sqrt n }},\lim{1 \over {\sqrt n }} = 0 \Rightarrow \lim {{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}} = 0\) Câu 2 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{v_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}\) Có giới hạn 0. Giải: Ta có: \(\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr & \left| {{v_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {{\left| {\cos n} \right|} \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over {{n^2} + 1}} < {1 \over {{n^2}}}\,\text{ và }\,\lim {1 \over {{n^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \cr} \) Câu 3 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0 : a. \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\) b. \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}\) c. \({u_n} = - {{\sin {{n\pi } \over 5}} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\) Giải: a. Ta có: \(\left| {0,99} \right| < 1\,\text{ nên }\,\lim {u_n} = \lim {\left( {0,99} \right)^n} = 0\) b. \(\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}} \right| = {1 \over {{2^n} + 1}} < {\left( {{1 \over 2}} \right)^n},\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \) c. \(\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = {{\left| {\sin {{n\pi } \over 5}} \right|} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}} \le {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n},\lim {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \) Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số (un) với \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\) a. Chứng minh rằng \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\) với mọi n. b. Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) với mọi n. c. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn 0. Giải: a. Ta có: \(\eqalign{ & {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} \cr & = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \le {2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \) b. Rõ ràng \(u_n> 0, ∀n ≥ 1\). Ta chứng minh \({u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\) +) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\) Vậy (1) đúng với \(n = 1\) +) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có : \({u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}\) Khi đó \({u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\) (theo câu a) \( \Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}\) Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) nên (1) đúng với mọi \(n\). c. Ta có: \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) Mà \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)
