Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau : a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}}\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}}\) Giải: a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {\cos 2x.\sin 5x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {2x}}.{1 \over {\cos 2x.{{\sin 5x} \over {5x}}}}.{2 \over 5} = {2 \over 5}\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{\sin }^2}x} \over {2x\sin x\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over {2x\cos x}} = {1 \over 2}\) c. \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\sin^2 {x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {2{{\sin }^2}{x \over 2} - 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}}} = - 1 \cr} \) Câu 29 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a. \(y = 5\sin x - 3\cos x\) b. \(y = \sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) c. \(y = \cos \sqrt {2x + 1} \) d. \(y = 2\sin 3x\cos 5x\) e. \(y = {{\sin x + \cos x} \over {\sin x - \cos x}}\) f. \(y = \sqrt {\cos 2x} \) Giải: a. \(y' = 5\cos x + 3\sin x\) b. \(y' = \left( {2x - 3} \right)\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) c. \(y' = {2 \over {2\sqrt {2x + 1} }}\left( { - \sin \sqrt {2x + 1} } \right) = {{ - \sin \sqrt {2x + 1} } \over {\sqrt {2x + 1} }}\) d. \(y = \sin 8x - \sin 2x \Rightarrow y' = 8\cos 8x - 2\cos 2x\) e. \(y' = {{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) - {{\left( {\cos x + \sin x} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}} = {{ - 2} \over {{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\) f. \(y' = {{ - 2\sin 2x} \over {2\sqrt {\cos 2x} }} = {-{\sin 2x} \over {\sqrt {\cos 2x} }}\) Câu 30 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng hàm số \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) có đạo hàm bằng 0. Giải Ta có: \(\eqalign{ & y = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;+ 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr & = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^4}x \cr & = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 1 \cr & \Rightarrow y' = 0 \cr} \) Câu 31 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a. \(y = \tan {{x + 1} \over 2}\) b. \(y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \) c. \(y = {\tan ^3}x + \cot 2x\) d. \(y = \tan 3x - \cot 3x\) e. \(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \) f. \(y = x\cot x\) Giải: a. \(y' = {1 \over {2{{\cos }^2}{{x + 1} \over 2}}}\) b. \(y' = {{ - x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 \over {{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\) c. \(y' = {{3{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - {2 \over {{{\sin }^2}2x}}\) d. \(y' = {3 \over {{{\cos }^2}3x}} + {3 \over {{{\sin }^2}3x}} = {{12} \over {{{\sin }^2}6x}}\) e. \(y' = {1 \over {{\sqrt {1 + 2\tan x}.{\cos }^2}x }}\) f. \(y' = \cot x - {x \over {{{\sin }^2}x}}\) Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng : a. Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức \(y' - {y^2} - 1 = 0\) b. Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\) Giải: a. \(y' = 1 + {\tan ^2}x.\) Do đó \(y' - {y^2} - 1 = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x - 1 = 0\) b. \(y' = - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)\). Do đó \(y' + 2{y^2} + 2 = - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right) + 2{\cot ^2}2x + 2 = 0\) Câu 33 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau : a. \(y = {{\sin x} \over x} + {x \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}\) b. \(y = {{{{\sin }^2}x} \over {1 + \tan 2x}}\) c. \(y = \tan \left( {\sin x} \right)\) d. \(y = x\cot \left( {{x^2} - 1} \right)\) e. \(y = {\cos ^2}\sqrt {{\pi \over 4} - 2x} \) f. \(y = x\sqrt {\sin 3x} \) Giải: a. \(\eqalign{ & y' = {{x\cos x - \sin x} \over {{x^2}}} + {{\sin x - x\cos x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr & = \left( {x\cos x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)\left( {{1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right) \cr} \) b. \(\eqalign{ & y' = {{2\sin x\cos x\left( {1 + \tan 2x} \right) - {{\sin }^2}x.2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}} \cr & = {{\sin 2x} \over {\left( {1 + \tan 2x} \right)}} - {{2{{\sin }^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}} \cr} \) c. \(y' = {{\cos x} \over {{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right)}}\) d. \(\eqalign{ & y' = \cot \left( {{x^2} - 1} \right) + x.{{ - 2x} \over {{{\sin }^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr & = \cot \left( {{x^2} - 1} \right) - {{2{x^2}} \over {{{\sin }^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr} \) e. \(\eqalign{ & y = {1 \over 2}\left( {1 + \cos 2\sqrt {{\pi \over 4} - 2x} } \right) \cr & y' = - {1 \over 2}. \sin 2\sqrt {{\pi \over 4} - 2x} .\,2{{ - 2} \over {2\sqrt {{\pi \over 4} - 2x} }} = {{2\sin \sqrt {\pi - 8x} } \over {\sqrt {\pi - 8x} }} \cr} \) f. \(y' = \sqrt {\sin 3x} + x.{{3\cos 3x} \over {2\sqrt {\sin 3x} }} = {{2\sin 3x + 3x\cos 3x} \over {2\sqrt {\sin 3x} }}\) Câu 34 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính \(f'\left( \pi \right)\) nếu \(f\left( x \right) = {{\sin x - x\cos x} \over {\cos x - x\sin x}}\) Giải: Với mọi x sao cho \(\cos x - x\sin x \ne 0,\) ta có: \(f'\left( x \right) = {{\left[ {\cos x - \left( {\cos x - x\sin x} \right)} \right]\left( {\cos x - x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right)\left[ { - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right)} \right]} \over {{{\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - xsinx} \right)}^2}}}\) Vì \(\sin \pi = 0,\cos \pi = - 1\) nên : \(f'\left( \pi \right) = {{\left[ { - 1 - \left( { - 1} \right)} \right].\left( { - 1} \right) - \pi .\pi } \over {{{\left( { - 1} \right)}^2}}} = - {\pi ^2}\) Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau : a. y = sin2x - 2cosx b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x c. \(y = {\cos ^2}x + \sin x\) d. \(y = \tan x + \cot x\) Giải: a. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = 2\cos 2x + 2\sin x = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\) \(=-4{{\sin }^2}x+2\sin x+2\) Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin x = 1} \cr {\sin x = -{1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr }\left( {k \in \mathbb Z} \right) } \right.\) b. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10\) Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow 4\sin 2x - 3\cos 2x = 5\) \( \Leftrightarrow {4 \over 5}\sin 2x - {3 \over 5}\cos 2x = 1\,\,\left( 1 \right)\) Vì \({\left( {{4 \over 5}} \right)^2} + {\left( {{3 \over 5}} \right)^2} = 1\) nên có số \(α\) sao cho \(\cos \alpha = {4 \over 5}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over 5}\) Thay vào (1), ta được : \(\eqalign{ & \sin 2x\cos \alpha - sin\alpha cos2x = 1 \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = {\pi \over 2} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {\alpha + {\pi \over 2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \) c. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = - 2\cos x{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + cosx = cosx\left( {1 - 2\sin x} \right)\) \(\eqalign{ & y' = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ { \cos x = 0 } \cr {1 - 2\sin x = 0 } \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k\pi} \cr {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi } \cr } } \right. } \cr } } \right. \cr} \) Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi ;x = {\pi \over 6} + k2\pi ;x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)\) d. \(\eqalign{ & y' = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\,\forall\,x \ne k{\pi \over 2} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr} \) Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra. Giải: Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(f'\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left( {4x - 1} \right)} \right]4 = - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)\) Suy ra: \(\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x - 1} \right)} \right| \le 8\) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : \(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x - 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {4x - 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \) Câu 37 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho mạch điện như hình 5.7. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây ; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức \(q\left( t \right) = {Q_0}\sin \omega t.\) Trong đó, ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức \(I\left( t \right) = q'\left( t \right)\) Cho biết \({Q_0} = {10^{ - 8}}\,\text{ và }\,\omega = {10^6}\pi \,rad/s.\) Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến 10-5 mA) Giải Cường độ dòng điện tại thời điểm t là : \(I\left( t \right) = q'\left( t \right) = {Q_0}\omega \cos \omega t\) Khi \({Q_0} = {10^{ - 8}}C\,\text{ và }\,\omega = {10^6}\pi \,rad/s\) thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là : \(I\left( 6 \right) = {10^{ - 8}}{.10^6}\pi .\cos \left( {{{10}^6}\pi .6} \right) = {\pi \over {100}}\left( A \right) \approx 31,41593\,\left( {mA} \right)\) Câu 38 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(y = {\cos ^2}x + m\sin x\) (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau: a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ \(x = π\) có hệ số góc bằng 1 b. Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ \(x = - {\pi \over 4}\) và \(x = {\pi \over 3}\) song song hoặc trùng nhau. Giải Đặt \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + m\sin x,\) ta có : \(f'\left( x \right) = - \sin 2x + m\cos x\) a. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x = π\) là : \(\eqalign{ & f'\left( \pi \right) = - \sin 2\pi + m\cos \pi = - m \cr & \text{Vậy}\,f'\left( \pi \right) = 1 \Leftrightarrow m = - 1 \cr} \) b. Theo đề bài, ta có : \(\eqalign{ & f'\left( { - {\pi \over 4}} \right) = f'\left( {{\pi \over 3}} \right) \cr & \Leftrightarrow - \sin \left( { - {\pi \over 2}} \right) + m\cos \left( { - {\pi \over 4}} \right) = - \sin {{2\pi } \over 3} + m\cos {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow 1 + m{{\sqrt 2 } \over 2} = - {{\sqrt 3 } \over 2} + {m \over 2} \Leftrightarrow m = {{\sqrt 3 + 2} \over {1 - \sqrt 2 }} \cr} \)
