Dạng toán rút gọn, tính giá trị biểu thức lớp 8&9 _ Kì 1

Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC
--------- ---------​

Bài 1: Cho biểu thức $A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{{{x}^{2}}-x+16\sqrt{x}}{8\left( x-1 \right)}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}$ với $x>0\,\,;\,\,x\ne 1$.
a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tìm $x$ để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
a) $A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{{{x}^{2}}-x+16\sqrt{x}}{8\left( x-1 \right)}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}$ với $x>0\,\,;\,\,x\ne 1$.
$A=\frac{x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{{{x}^{2}}-x}+\frac{{{x}^{2}}-x+16\sqrt{x}}{8\left( x-1 \right)}$
$A=\frac{-2\sqrt{x}}{x\left( x-1 \right)}+\frac{{{x}^{2}}-x+16\sqrt{x}}{8\left( x-1 \right)}$
$A=\frac{-16\sqrt{x}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+16x\sqrt{x}}{8x\left( x-1 \right)}$
$A=\frac{{{x}^{2}}\left( x-1 \right)+16\sqrt{x}\left( x-1 \right)}{8x\left( x-1 \right)}=\frac{{{x}^{2}}+16\sqrt{x}}{8x}=\frac{x\sqrt{x}+16}{8\sqrt{x}}$.

b) Với $x>0\,\,;\,\,x\ne 1$, ta có:
$A=\frac{x\sqrt{x}+16}{8\sqrt{x}}=\frac{x}{8}+\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{x}{8}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với ba số dương ta có:
$\frac{x}{8}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{x}{8}.\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=\frac{3}{2}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{x}{8}=\frac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x} \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow x=4$ (thỏa mãn $x>0\,\,;\,\,x\ne 1$)
Vậy khi x = 4 thì biểu thức $A$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{3}{2}$.


Bài 2: Cho biểu thức $A=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{3}{\sqrt{x}-3} \right).\frac{\sqrt{x}+3}{x+9}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 9$.
a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên.
Lời giải:
a) $A=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{3}{\sqrt{x}-3} \right).\frac{\sqrt{x}+3}{x+9}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 9$.
$A=\frac{x-3\sqrt{x}+3\sqrt{x}+9}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}.\frac{\sqrt{x}+3}{x+9}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}$
$A=\frac{1}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}+3-\sqrt{x}+3}{x-9}=\frac{6}{x-9}$.

b) Với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 9$, ta có $A=\frac{6}{x-9}$.
Vì $x$ nguyên nên để $A$ nhận giá trị nguyên thì $x-9\in $Ư(6) $=\left\{ \pm 1\,\,;\,\,\pm 2\,\,;\,\,\pm 3\,\,;\,\,\pm 6 \right\}$
Ta lập bảng tìm $x$ và $A$ như sau:

$x-9$	$-6$	$-3$	$-2$	$-1$	1	2	3	6
$x$	3	6	7	8	10	11	12	15
$A=\frac{6}{x-9}$	$-1$	$-2$	$-3$	$-6$	6	3	2	1

Vậy các giá trị nguyên của $x$ cần tìm là {3, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15}.


Bài 3: Cho biểu thức $A=\left( \frac{x}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right):\left( 1-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{6}{x+3\sqrt{x}} \right)$ với $x>0$.
a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x=\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$.
Lời giải:
a) $A=\left( \frac{x}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right):\left( 1-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{6}{x+3\sqrt{x}} \right)$ với $x>0$.
$A=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right):\left( \frac{x+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}-6+6}{x+3\sqrt{x}} \right)$
$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}:\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+3 \right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$.

b) Với $x>0$, ta có $A=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$.
Ta có $x=\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$
$x=\sqrt{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}$
$x=\left( 2+\sqrt{3} \right)+\left( 2-\sqrt{3} \right)$ (vì $2>\sqrt{3}>0$)
$x=4$ (thỏa mãn điều kiện $x>0$)
Do đó $A=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{4}+3}{\sqrt{4}+2}=\frac{2+3}{2+2}=\frac{5}{4}$.