Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 28: a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c+\sqrt{abc}=4$. Tính giá trị của biểu thức $M=\sqrt{a\left( 4-b \right)\left( 4-c \right)}+\sqrt{b\left( 4-c \right)\left( 4-a \right)}+\sqrt{c\left( 4-a \right)\left( 4-b \right)}-\sqrt{abc}$. b) Rút gọn biểu thức $N=\frac{6{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+3x}{{{\left( 3x-2 \right)}^{3}}+{{\left( 1-2x \right)}^{3}}+{{\left( 1-x \right)}^{3}}}$. Giải: a) Ta có $a+b+c+\sqrt{abc}=4\Leftrightarrow 4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\Leftrightarrow 16-4b-4c=4a+4\sqrt{abc}$. Do đó $\sqrt{a\left( 4-b \right)\left( 4-c \right)}=\sqrt{a\left( 16-4b-4c+bc \right)}$ $\begin{align} & =\sqrt{a\left( 4a+4\sqrt{abc}+bc \right)} \\ & =\sqrt{a{{\left( 2\sqrt{a}+\sqrt{bc} \right)}^{2}}}=\sqrt{a}\left( 2\sqrt{a}+\sqrt{bc} \right)=2a+\sqrt{abc} \\ \end{align}$ Tương tự ta được $\sqrt{b\left( 4-c \right)\left( 4-a \right)}=2b+\sqrt{abc}$; $\sqrt{b\left( 4-c \right)\left( 4-a \right)}=2c+\sqrt{abc}$. Do đó $M=2\left( a+b+c \right)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left( a+b+c+\sqrt{abc} \right)=2.4=8$. b) Ta có $6{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+3x=3x\left( 2{{x}^{2}}-3x+1 \right)=3x\left[ \left( 2{{x}^{2}}-2x \right)-\left( x-1 \right) \right]=3x\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right)$. Đặt $a=3x-2\,\,;\,\,b=1-2x\,\,;\,\,c=1-x$. Khi đó $a+b+c=0$ và ${{\left( 3x-2 \right)}^{3}}+{{\left( 1-2x \right)}^{3}}+{{\left( 1-x \right)}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$. Ta có $a+b+c=0$ $\begin{align} & \Leftrightarrow a+b=-c \\ & \Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{3}}={{\left( -c \right)}^{3}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}=-{{c}^{3}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-3ab\left( a+b \right)=-3ab\left( -c \right)=3abc \\ \end{align}$ Do đó ${{\left( 3x-2 \right)}^{3}}+{{\left( 1-2x \right)}^{3}}+{{\left( 1-x \right)}^{3}}=3\left( 3x-2 \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-x \right)$. Vậy $N=\frac{6{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+3x}{{{\left( 3x-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2x \right)}^{3}}+{{\left( 1-x \right)}^{3}}}=\frac{3x\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}{3\left( 3x-2 \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-x \right)}=\frac{x}{3x-2}$. Bài 29: Cho biểu thức $A=\frac{x}{\sqrt{xy}+y}+\frac{y}{\sqrt{xy}-x}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$, với $xy>0$ và $x\ne y$. a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A biết 3x2 + 7y2 = 22xy. Giải: a) Ta có: $\begin{align} & A=\frac{x}{\sqrt{xy}+y}+\frac{y}{\sqrt{xy}-x}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\ & A=\frac{x\left( \sqrt{xy}-x \right)+y\left( \sqrt{xy}+y \right)}{\left( \sqrt{xy}+y \right)\left( \sqrt{xy}-x \right)}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\ & A=\frac{x\sqrt{xy}-{{x}^{2}}+y\sqrt{xy}+{{y}^{2}}}{xy-x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-xy}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\ & A=\frac{\left( x+y \right)\sqrt{xy}-{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{\left( y-x \right)\sqrt{xy}}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\ & A=\frac{\left( x+y \right)\sqrt{xy}-{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{\left( y-x \right)\sqrt{xy}}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\ & A=\frac{\left( x+y \right)\sqrt{xy}-{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( x+y \right)\left( y-x \right)}{\left( y-x \right)\sqrt{xy}} \\ & A=\frac{\left( x+y \right)\sqrt{xy}-{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{y}^{2}}+{{x}^{2}}}{\left( y-x \right)\sqrt{xy}} \\ & A=\frac{\left( x+y \right)\sqrt{xy}}{\left( y-x \right)\sqrt{xy}}=\frac{y+x}{y-x} \\ \end{align}$ b) Ta có 3x2 + 7y2 = 22xy $ \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+7{{y}^{2}}-22xy=0 $ $ \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-xy+7{{y}^{2}}-21xy=0 $ $ \Leftrightarrow x\left( 3x-y \right)-7y\left( 3x-y \right)=0 $ $ \Leftrightarrow \left( 3x-y \right)\left( x-7y \right)=0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3x-y=0 \\ & x-7y=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=3x \\ & x=7y \\ \end{align} \right.$ · Với y = 3x thì $A=\frac{y+x}{y-x}=\frac{3x+x}{3x-x}=\frac{4x}{2x}=2$. · Với x = 7y thì $A=\frac{y+x}{y-x}=\frac{y+7y}{y-7y}=\frac{8y}{-6y}=-\frac{4}{3}$. Bài 30: Cho $A=\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}+1 \right):\left( 1+\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1} \right)$ với $x>0\,\,;\,\,y>0\,\,;\,\,x.y\ne 1$. a) Rút gọn biểu thức A. b) Cho $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Giải: a) Đặt $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}+1$ $\begin{align} & =\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( 1-\sqrt{xy} \right)+\left( \sqrt{xy}+\sqrt{x} \right)+\left( \sqrt{xy}+1 \right)\left( 1-\sqrt{xy} \right)}{\left( \sqrt{xy}+1 \right)\left( 1-\sqrt{xy} \right)} \\ & =\frac{\sqrt{x}-x\sqrt{y}+1-\sqrt{xy}+xy+\sqrt{xy}+x\sqrt{y}+\sqrt{x}+1-xy}{\left( \sqrt{xy}+1 \right)\left( 1-\sqrt{xy} \right)}=\frac{2\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{xy}+1 \right)\left( 1-\sqrt{xy} \right)} \\ \end{align}$ Đặt $C=1+\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}$ $\begin{align} & =\frac{\left( 1-\sqrt{xy} \right)\left( \sqrt{xy}+1 \right)+\left( \sqrt{xy}+\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{xy}+1 \right)-\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( 1-\sqrt{xy} \right)}{\left( 1-\sqrt{xy} \right)\left( \sqrt{xy}+1 \right)} \\ & =\frac{1-xy+xy+\sqrt{xy}+x\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{x}+x\sqrt{y}-1+\sqrt{xy}}{\left( 1-\sqrt{xy} \right)\left( \sqrt{xy}+1 \right)}=\frac{2\sqrt{xy}+2x\sqrt{y}}{\left( 1-\sqrt{xy} \right)\left( \sqrt{xy}+1 \right)} \\ \end{align}$ Do đó $A=B:C=\frac{2\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{xy}+1 \right)\left( 1-\sqrt{xy} \right)}:\frac{2\sqrt{xy}+2x\sqrt{y}}{\left( 1-\sqrt{xy} \right)\left( \sqrt{xy}+1 \right)}=\frac{2\left( \sqrt{x}+1 \right)}{2\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{1}{\sqrt{xy}}$. b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: ${{6}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right)}^{2}}\ge 4.\frac{1}{\sqrt{xy}}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{xy}}\le 9\Leftrightarrow A\le 9$. Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{align} & \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}} \\ & \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{9}$ (thỏa mãn đk: $x>0\,\,;\,\,y>0\,\,;\,\,x.y\ne 1$). Vậy $max\,A=9$ đạt được tại $x=y=\frac{1}{9}$.
