Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 34: Cho biểu thức $P=\left( \frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\frac{8x}{4-x} \right):\left( \frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}} \right)$. a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để $P=-1$. c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có $m(\sqrt{x}-3)P>x+1$. GIẢI: a) ĐKXĐ: $x>0\,\,;\,\,x\ne 4\,\,;\,\,x\ne 9$. $\begin{align} & P=\left( \frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\frac{8x}{4-x} \right):\left( \frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}} \right) \\ & P=\left[ \frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\frac{8x}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)} \right]:\left[ \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}-\frac{2}{\sqrt{x}} \right] \\ & P=\frac{4\sqrt{x}\left( 2-\sqrt{x} \right)+8x}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}:\frac{\sqrt{x}-1-2\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)} \\ & P=\frac{8\sqrt{x}+4x}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}:\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)} \\ & P=\frac{4\sqrt{x}\left( 2+\sqrt{x} \right)}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}.\frac{\sqrt{x}\left( 2-\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}-3}=\frac{4x}{\sqrt{x}-3} \\ \end{align}$ b) Ta có $P=-1\Rightarrow \frac{4x}{\sqrt{x}-3}=-1\Rightarrow 4x+\sqrt{x}-3=0\Rightarrow \left( \sqrt{x}+1 \right)\left( 4\sqrt{x}-3 \right)=0$. $\Rightarrow 4\sqrt{x}-3=0$ (vì $\sqrt{x}+1>0$) $\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{9}{16}$ (thỏa mãn ĐKXĐ). c) Với x > 9 thì biểu thức P luôn xác định. Ta có $m(\sqrt{x}-3)P>x+1$và $P=\frac{4x}{\sqrt{x}-3}$ thì $4mx>x+1$ $\Leftrightarrow \left( 4m-1 \right)x>1$ (*) · Với $4m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ thì (*) $\Leftrightarrow $ 0x > 1 vô nghiệm. · Với $4m-1>0\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}$ thì (*) $\Leftrightarrow x>\frac{1}{4m-1}$. Để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x > 9 thì $\frac{1}{4m-1}\le 9\Leftrightarrow 4m-1\ge \frac{1}{9}\Leftrightarrow 4m\ge \frac{10}{9}\Leftrightarrow m\ge \frac{5}{18}$ (thỏa mãn điều kiện $m>\frac{1}{4}$). · Với $4m-1<0\Leftrightarrow m<\frac{1}{4}$ thì (*) $\Leftrightarrow x<\frac{1}{4m-1}$ không tìm được giá trị nào của m để bất phương trình này nghiệm đúng với mọi x > 9. Vậy khi $m\ge \frac{5}{18}$ thì $m(\sqrt{x}-3)P>x+1$ nghiệm đúng với mọi x > 9. Bài 35: Cho biểu thức $M=\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\sqrt{xy}+y}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$ với x > y > 0. a) Rút gọn biểu thức M. b) Tính giá trị của biểu thức M biết 2x2 + 2y2 = 5xy. c) Tìm GTNN của biểu thức $N={{x}^{2}}-\frac{M}{y(x+y)}+2020$. Giải: a) $M=\frac{x+y}{y-x}$. b) Ta có 2x2 + 2y2 = 5xy $\Leftrightarrow $ (2x – y)(x – 2y) = 0 $\Rightarrow $ x = 2y (vì x > y > 0). Từ đó tính được M = – 3. c) Cách 1: Ta có $N={{x}^{2}}+\frac{1}{y(x-y)}+2020$. $\Rightarrow N=\left( {{x}^{2}}-2\sqrt{2}x+2 \right)+2\sqrt{2}y+2\sqrt{2}\left( x-y \right)+\frac{1}{y\left( x-y \right)}+2018$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: $\begin{align} & \Rightarrow N\ge {{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{2}}+3\sqrt[3]{2\sqrt{2}y.2\sqrt{2}\left( x-y \right).\frac{1}{y\left( x-y \right)}}+2018 \\ & \Rightarrow N\ge 6+2018=2024 \\ \end{align}$ Dấu “=” xảy ra khi $x=\sqrt{2}$ và $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện $x>y>0$). Vậy min N = 2024 đạt được khi $x=\sqrt{2}$ và $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương y và x – y ta có: $x=y+\left( x-y \right)\ge 2\sqrt{y\left( x-y \right)}$, dấu “=” xảy ra khi y = x – y $\Leftrightarrow $ x = 2y. $\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge 4y\left( x-y \right)\Leftrightarrow \frac{1}{y\left( x-y \right)}\ge \frac{4}{{{x}^{2}}}$. Do đó $N={{x}^{2}}+\frac{1}{y(x-y)}+2020\ge {{x}^{2}}+\frac{4}{{{x}^{2}}}+2020\ge 2024$, dấu “=” xảy ra khi $x=\sqrt{2}$ > 0. Vậy min N = 2024 đạt được tại $x=\sqrt{2}\,\,;\,\,y=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Bài 36: a) Cho $a=x+\frac{1}{x}$ ; $b=y+\frac{1}{y}$ ; $c=xy+\frac{1}{xy}$. Tính $M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-abc$. b) Cho x, y là hai số hữu tỉ khác 0, thỏa mãn a3 + b3 = 2a2b2. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $\sqrt{1-\frac{1}{ab}}$ là một số hữu tỉ. Giải: a) Ta có $abc=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)\left( xy+\frac{1}{xy} \right)$ $\begin{align} & =\left( xy+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)\left( xy+\frac{1}{xy} \right) \\ & ={{\left( xy \right)}^{2}}+\frac{1}{{{\left( xy \right)}^{2}}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+2 \\ & =\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2 \right)+\left( {{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+2 \right)+\left[ {{\left( xy \right)}^{2}}+\frac{1}{{{\left( xy \right)}^{2}}}+2 \right]-4 \\ & ={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}+{{\left( xy+\frac{1}{xy} \right)}^{2}}-4 \\ & ={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-4 \\ \end{align}$ Vậy M = a2 + b2 + c2 – abc = 4. b) Ta có a3 + b3 = 2a2b2. Do đó $1-\frac{1}{ab}=\frac{ab-1}{ab}=\frac{{{a}^{4}}{{b}^{4}}-{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{{{a}^{4}}{{b}^{4}}}=\frac{{{\left( \frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{2} \right)}^{2}}-{{a}^{3}}{{b}^{3}}}{{{a}^{4}}{{b}^{4}}}=\frac{{{\left( {{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{4}}{{b}^{4}}}$. Vậy $\sqrt{1-\frac{1}{ab}}=\sqrt{\frac{{{\left( {{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{4}}{{b}^{4}}}}=\frac{\left| {{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right|}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$ là số hữu tỉ với a, b là số hữu tỉ khác 0.
