Tác giả: ĐOÀN VĂN TRUC --------- --------- Bài 4: Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}+6}{x-4}$ với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 4$. a) Rút gọn biểu thức $A$. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$. Lời giải: a) $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}+6}{x-4}$ với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 4$. $A=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)+\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)-\sqrt{x}-6}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$ $A=\frac{x+2\sqrt{x}+x-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+2-\sqrt{x}-6}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$ $A=\frac{2x-2\sqrt{x}-4}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{2\left( x-\sqrt{x}-2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{2\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$. b) Với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 4$, ta có $A=\frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=2-\frac{2}{\sqrt{x}+2}$. Vì $x\ge 0$ nên $\sqrt{x}+2\ge 2\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 1$. Do đó $A=2-\frac{2}{\sqrt{x}+2}\ge 1$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy min$A$ = 1, đạt được khi x = 0. Bài 5: Cho biểu thức $A=\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+2\sqrt{x}-\sqrt{y}-2}-\frac{2-\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+2\sqrt{x}+\sqrt{y}+2}$ với $x,y\ge 0\,\,;\,\,x\ne 1$. a) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $y$. b) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $A$ đạt giá trị lớn nhất. Lời giải: a) $A=\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+2\sqrt{x}-\sqrt{y}-2}-\frac{2-\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+2\sqrt{x}+\sqrt{y}+2}$ với $x,y\ge 0\,\,;\,\,x\ne 1$. Ta có $\sqrt{xy}+2\sqrt{x}-\sqrt{y}-2=\sqrt{x}\left( \sqrt{y}+2 \right)-\left( \sqrt{y}+2 \right)=\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)$ $\sqrt{xy}+2\sqrt{x}+\sqrt{y}+2=\sqrt{x}\left( \sqrt{y}+2 \right)+\left( \sqrt{y}+2 \right)=\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)$ Do đó: $A=\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)}-\frac{2-\sqrt{xy}}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)}$ $A=\frac{\left( 2\sqrt{x}+\sqrt{y} \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)-\left( 2-\sqrt{xy} \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)}$ $A=\frac{2x+2\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}-2\sqrt{x}+2+x\sqrt{y}-\sqrt{xy}}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)}$ $A=\frac{2x+\sqrt{y}+2+x\sqrt{y}}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)}=\frac{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{y}+2 \right)}=\frac{x+1}{x-1}$. Vậy giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $y$. b) Với $x,y\ge 0\,\,;\,\,x\ne 1$, ta có $A=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$. Vì $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 1$ và $x$ nguyên nên $x$ là số tự nhiên khác 1. Với $x=0$ thì $A=\frac{x+1}{x-1}=\frac{0+1}{0-1}=-1$. Với $x\ge 2$ thì $x-1\ge 1\Leftrightarrow \frac{2}{x-1}\le 2$ Do đó $A=1+\frac{2}{x-1}\le 3$, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=2$. Vậy khi $x=2$ thì ${{A}_{max}}=3$. Bài 6: Cho hai số thực $x,y$ sao cho $\left| x \right|\ne \left| y \right|$ và $xy\ne 0$ thỏa mãn điều kiện $\frac{x-y}{{{x}^{2}}+xy}+\frac{x+y}{{{x}^{2}}-xy}=\frac{3x-y}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$. Tính giá trị của thức $A=\frac{{{x}^{3}}-2{{y}^{3}}}{3{{x}^{3}}+4{{y}^{3}}}$. Lời giải: Ta có $\frac{x-y}{{{x}^{2}}+xy}+\frac{x+y}{{{x}^{2}}-xy}=\frac{3x-y}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \frac{x-y}{x\left( x+y \right)}+\frac{x+y}{x\left( x-y \right)}=\frac{3x-y}{\left( x-y \right)\left( x+y \right)}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}=x\left( 3x-y \right)$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=3{{x}^{2}}-xy$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy-2{{y}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( x-2y \right)=0$ $\Leftrightarrow x-2y=0$ (vì $\left| x \right|\ne \left| y \right|$ nên $x+y\ne 0$) $\Leftrightarrow x=2y$ Khi đó $A=\frac{{{x}^{3}}-2{{y}^{3}}}{3{{x}^{3}}+4{{y}^{3}}}=\frac{{{\left( 2y \right)}^{3}}-2{{y}^{3}}}{3{{\left( 2y \right)}^{3}}+4{{y}^{3}}}=\frac{6{{y}^{3}}}{28{{y}^{3}}}=\frac{3}{14}$ (vì $y\ne 0$).
