Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 7: Cho biểu thức $A=\frac{1}{{{\left( x+y \right)}^{3}}}\left( \frac{1}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{y}^{3}}} \right)+\frac{3}{{{\left( x+y \right)}^{4}}}\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)+\frac{6}{{{\left( x+y \right)}^{5}}}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)$. a) Rút gọn biểu thức $A$ với $x+y\ne 0\,\,;\,\,xy\ne 0$. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A$, biết $x>0\,\,;\,\,y>0$ và $xy=x+y$. Lời giải: a) $A=\frac{1}{{{\left( x+y \right)}^{3}}}\left( \frac{1}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{y}^{3}}} \right)+\frac{3}{{{\left( x+y \right)}^{4}}}\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)+\frac{6}{{{\left( x+y \right)}^{5}}}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)$ với $x+y\ne 0\,\,;\,\,xy\ne 0$. Đặt $x+y=S\,\,;\,\,xy=P$, ta có: ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{S}^{3}}-3SP$ ; ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{S}^{2}}-2P$.$A=\frac{1}{{{\left( x+y \right)}^{3}}}.\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{3}}{{y}^{3}}}+\frac{3}{{{\left( x+y \right)}^{4}}}.\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+\frac{6}{{{\left( x+y \right)}^{5}}}.\frac{x+y}{xy}$ $A=\frac{1}{{{S}^{3}}}.\frac{{{S}^{3}}-3SP}{{{P}^{3}}}+\frac{3}{{{S}^{4}}}.\frac{{{S}^{2}}-2P}{{{P}^{2}}}+\frac{6}{{{S}^{5}}}.\frac{S}{P}$ $A=\frac{{{S}^{4}}-3{{S}^{2}}P}{{{S}^{4}}{{P}^{3}}}+\frac{3{{S}^{2}}P-6{{P}^{2}}}{{{S}^{4}}{{P}^{3}}}+\frac{6{{P}^{2}}}{{{S}^{4}}{{P}^{3}}}=\frac{1}{{{P}^{3}}}=\frac{1}{{{x}^{3}}{{y}^{3}}}$. b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số dương, ta có: $x+y\ge 2\sqrt{xy}$, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y$. Ta lại có $xy=x+y$ nên $xy\ge 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\ge 4\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{3}}{{y}^{3}}}\le \frac{1}{64}$ (vì $x>0\,\,;\,\,y>0$) Do đó $A\le \frac{1}{64}$, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2$. Vậy với $x>0\,\,;\,\,y>0$ và $xy=x+y$ thì ${{A}_{max}}=\frac{1}{64}$, đạt được khi $x=y=2$. Bài 8: Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{x-\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 4$. a) Rút gọn biểu thức $A$. b) Tìm giá trị nguyên âm lớn nhất của $A$. Lời giải: a) $A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{x-\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 4$. Ta có $x-\sqrt{x}-2=x-2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2=\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)+\left( \sqrt{x}-2 \right)=\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)$ Do đó: $A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}$ $A=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)-\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)-x-5}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}$ $A=\frac{x-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+2-x-3\sqrt{x}-\sqrt{x}-3-x-5}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}$ $A=\frac{-\left( x+7\sqrt{x}+6 \right)}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}=\frac{-\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}+6 \right)}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}=\frac{6+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}$. b) Với $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 4$ thì $A=\frac{6+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}$. Ta có $A=\frac{6+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}\Leftrightarrow 2A-A\sqrt{x}=6+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{2A-6}{A+1}$ (vì $A\ne -1$) Do $\sqrt{x}\ge 0$ nên $\frac{2A-6}{A+1}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & A\ge 3 \\ & A<-1 \\ \end{align} \right.$ Vậy giá trị nguyên âm lớn nhất của $A$ là $-2$, khi đó $x=100$ (thỏa mãn $x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 4$). Bài 9: Cho biểu thức $A=\left( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}} \right)\left( \sqrt{\frac{y}{x}}-\sqrt{\frac{x}{y}} \right)$ với $x>0\,\,;\,\,y>0\,\,;\,\,x\ne y$. a) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $y$. b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên. Lời giải: a) $A=\left( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}} \right)\left( \sqrt{\frac{y}{x}}-\sqrt{\frac{x}{y}} \right)$ với $x>0\,\,;\,\,y>0\,\,;\,\,x\ne y$. $A=\left[ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)} \right]\left( \frac{y-x}{\sqrt{xy}} \right)$ $A=\left[ \frac{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}}}{\sqrt{x}\left( x-y \right)} \right]\left( \frac{y-x}{\sqrt{xy}} \right)$ $A=\left[ \frac{4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}\left( x-y \right)} \right]\left( \frac{y-x}{\sqrt{xy}} \right)=-\frac{4}{\sqrt{x}}$. b) Nếu $\sqrt{x}$ là số vô tỉ thì $A=-\frac{4}{\sqrt{x}}$ cũng là số vô tỉ. Nếu $\sqrt{x}$ là số hữu tỉ, đặt $\sqrt{x}=\frac{p}{q}$. Không mất tính tổng quát, giả sử $\frac{p}{q}$ là phân số tối giản (p, q cùng dấu vì x > 0). Khi đó $A=-\frac{4}{\sqrt{x}}=-\frac{4q}{p}$ Do $\frac{p}{q}$ là phân số tối giản nên $A$ nhận giá trị nguyên khi $p\in \ddot{O}\left( 4 \right)=\left\{ \pm 1;\,\,\pm 2;\,\,\pm 4 \right\}$. Suy ra $x\in \left\{ \frac{1}{{{q}^{2}}}\,\,;\,\,\frac{4}{{{q}^{2}}}\,\,;\,\,\frac{16}{{{q}^{2}}} \right\}$ với $q\in \mathbb{Z};\,\,q\ne 0$. Vậy với $x\in \left\{ \frac{1}{{{q}^{2}}}\,\,;\,\,\frac{4}{{{q}^{2}}}\,\,;\,\,\frac{16}{{{q}^{2}}} \right\}$ với $q\in \mathbb{Z};\,\,q\ne 0$ thì $A$ nhận giá trị nguyên.