Tác giả: ĐOÀN VĂN TRUC --------- --------- Bài 10: Cho biểu thức $A=\sqrt{\frac{x+{{y}^{2}}}{y}+2\sqrt{x}}-\sqrt{\frac{x+{{y}^{2}}}{y}-2\sqrt{x}}$ với $x\ge {{y}^{2}}\,\,;\,\,y>0$. a) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $x$. b) Với giá trị nào của $y$ thì $A>y$. c) Với giá trị nào của $y$ thì $A<y+1$ Lời giải: a) $A=\sqrt{\frac{x+{{y}^{2}}}{y}+2\sqrt{x}}-\sqrt{\frac{x+{{y}^{2}}}{y}-2\sqrt{x}}$ với $x\ge {{y}^{2}}\,\,;\,\,y>0$. $A=\sqrt{\frac{x+{{y}^{2}}+2y\sqrt{x}}{y}}-\sqrt{\frac{x+{{y}^{2}}-2y\sqrt{x}}{y}}$ $A=\sqrt{\frac{{{\left( \sqrt{x}+y \right)}^{2}}}{y}}-\sqrt{\frac{{{\left( \sqrt{x}-y \right)}^{2}}}{y}}$ $A=\frac{\sqrt{x}+y}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}-y}{\sqrt{y}}$ (vì $x\ge {{y}^{2}}\,\,;\,\,y>0$) $A=2\sqrt{y}$. b) Với $x\ge {{y}^{2}}\,\,;\,\,y>0$ thì $A=2\sqrt{y}$. Do $A>y$ nên $2\sqrt{y}>y\Leftrightarrow y-2\sqrt{y}<0\Leftrightarrow \sqrt{y}\left( \sqrt{y}-2 \right)<0$ Mà $y>0$ nên $\sqrt{y}-2<0\Leftrightarrow \sqrt{y}<2\Leftrightarrow 0\le y<4$ Kết hợp với ĐKXĐ ta được $0<y<4$ thì $A>y$. c) Với $x\ge {{y}^{2}}\,\,;\,\,y>0$ thì $A=2\sqrt{y}$. Do $A<y+1$ nên $2\sqrt{y}<y+1\Leftrightarrow y-2\sqrt{y}+1>0\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{y}-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow \sqrt{y}\ne 1\Leftrightarrow 0\le y\ne 1$. Kết hợp với ĐKXĐ ta được $y>0\,\,;\,\,y\ne 1$ thì $A<y+1$. Bài 11: Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực khác 0 thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$ và $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Chứng minh rằng $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1$. Lời giải: Ta có $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\Rightarrow {{\left( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} \right)}^{2}}=1$ $\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}+2\left( \frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca} \right)=1$ $\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{2xyz}{abc}\left( \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \right)=1$ $\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1$ (vì $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$) (đpcm). Bài 12: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{x}{1+{{x}^{2}}}+\frac{y}{1+{{y}^{2}}}+\frac{z}{1+{{z}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)}$. Lời giải: Đặt $a=\frac{1}{x}$ ; $b=\frac{1}{y}$ ; $c=\frac{1}{z}$. Ta có $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=1$. Khi đó $1+{{a}^{2}}=ab+bc+ca+{{a}^{2}}=\left( {{a}^{2}}+ab \right)+\left( bc+ca \right)=\left( a+b \right)\left( a+c \right)$ Tương tự $1+{{b}^{2}}=\left( b+c \right)\left( b+a \right)$ ; $1+{{c}^{2}}=\left( c+a \right)\left( c+b \right)$ VT = $\frac{x}{1+{{x}^{2}}}+\frac{y}{1+{{y}^{2}}}+\frac{z}{1+{{z}^{2}}}=\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\frac{\frac{1}{y}}{1+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\frac{\frac{1}{z}}{1+\frac{1}{{{z}^{2}}}}=\frac{a}{1+{{a}^{2}}}+\frac{b}{1+{{b}^{2}}}+\frac{c}{1+{{c}^{2}}}$ VP = $\frac{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)}=\frac{2}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\left( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\left( \frac{1}{z}+\frac{1}{x} \right)}=\frac{2}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}$ Do đó: VT = $\frac{x}{1+{{x}^{2}}}+\frac{y}{1+{{y}^{2}}}+\frac{z}{1+{{z}^{2}}}$ $=\frac{a}{1+{{a}^{2}}}+\frac{b}{1+{{b}^{2}}}+\frac{c}{1+{{c}^{2}}}$ $=\frac{a}{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\frac{b}{\left( b+c \right)\left( b+a \right)}+\frac{c}{\left( c+a \right)\left( c+b \right)}$ $=\frac{a\left( b+c \right)+b\left( c+a \right)+c\left( a+b \right)}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}$ $=\frac{ab+ca+ab+bc+ca+bc}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}$ $=\frac{2\left( ab+bc+ca \right)}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}$ $=\frac{2}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}$ (vì $ab+bc+ca=1$) $=\frac{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)}$ (VP) (đpcm).