Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 13: Cho $x,y$ là các số thực dương phân biệt thỏa mãn điều kiện $\frac{y}{x+y}+\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}+\frac{8{{y}^{8}}}{{{x}^{8}}-{{y}^{8}}}=\frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{{{x}^{5}}-81{{y}^{5}}}{{{x}^{5}}+81{{y}^{5}}}$. Lời giải: Ta có $\frac{y}{x+y}-\frac{y}{x-y}=-\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{y}{x+y}=\frac{y}{x-y}-\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$ đúng với mọi $x\ne \pm y$. Do đó: $\frac{y}{x+y}+\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}+\frac{8{{y}^{8}}}{{{x}^{8}}-{{y}^{8}}}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{y}{x-y}-\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}+2\left( \frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}-\frac{2{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}} \right)+4\left( \frac{{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}-\frac{2{{y}^{8}}}{{{x}^{8}}-{{y}^{8}}} \right)+\frac{8{{y}^{8}}}{{{x}^{8}}-{{y}^{8}}}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{y}{x-y}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2y=x-y\Leftrightarrow x=3y$. Vậy $A=\frac{{{x}^{5}}-81{{y}^{5}}}{{{x}^{5}}+81{{y}^{5}}}=\frac{{{\left( 3y \right)}^{5}}-81{{y}^{5}}}{{{\left( 3y \right)}^{5}}+81{{y}^{5}}}=\frac{243{{y}^{5}}-81{{y}^{5}}}{243{{y}^{5}}+81{{y}^{5}}}=\frac{162{{y}^{5}}}{324{{y}^{5}}}=\frac{1}{2}$. Bài 14: Cho $x,y$ là các số thực khác 1 thỏa mãn điều kiện $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1$. a) Rút gọn biểu thức $A=x+y+\sqrt{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}$. b) Tính giá trị biểu thức $A$ trong trường hợp $0<x,\,y\,\,<1$. Lời giải: a) Ta có $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1$ với $x\ne 1\,\,;\,\,y\ne 1$. $\Leftrightarrow x\left( 1-y \right)+y\left( 1-x \right)=\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)$ $\Leftrightarrow x-xy+y-xy=1-x-y+xy$ $\Leftrightarrow 3xy=2\left( x+y \right)-1$. Suy ra ${{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-3xy={{\left( x+y \right)}^{2}}-2\left( x+y \right)+1={{\left( x+y-1 \right)}^{2}}$ Do đó $A=x+y+\sqrt{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}=x+y+\sqrt{{{\left( x+y-1 \right)}^{2}}}=x+y+\left| x+y-1 \right|$ Nếu $x+y\ge 1$ thì $\left| x+y-1 \right|=x+y-1$, ta được $A=2\left( x+y \right)-1$ Nếu $x+y\le 1$ thì $\left| x+y-1 \right|=-x-y+1$, ta được $A=1$ b) Trong trường hợp $0<x,\,y\,\,<1$ Từ $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1$ suy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0<\frac{x}{1-x}<1 \\ & 0<\frac{y}{1-y}<1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x<1-x \\ & y<1-y \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x<\frac{1}{2} \\ & y<\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow x+y<1$ Với $x+y<1$, theo câu a) thì $A=1$. Bài 15: Cho $x,y$ là hai số thực phân biệt thỏa mãn ${{x}^{2}}+3x={{y}^{2}}+3y=2020$. Tính giá trị của các biểu thức $A={{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ ; $B={{x}^{5}}+{{y}^{5}}$. Lời giải: Ta có ${{x}^{2}}+3x={{y}^{2}}+3y$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+3\left( x-y \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x+y+3 \right)=0$ $\Leftrightarrow x+y=-3$ (vì $x,y$ là hai số thực phân biệt) Mặt khác ${{x}^{2}}+3x={{y}^{2}}+3y=2020$ $\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3\left( x+y \right)=4040$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4040-3\left( x+y \right)=4040-3.\left( -3 \right)=4049$ Do đó $xy=\frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2}=\frac{{{\left( -3 \right)}^{2}}-4049}{2}=-2020$ Vậy $A={{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)={{\left( -3 \right)}^{3}}-3.\left( -2020 \right).\left( -3 \right)=-18207$. Ta có $\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)={{x}^{5}}+{{y}^{5}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( x+y \right)$ Do đó $B={{x}^{5}}+{{y}^{5}}=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)-{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( x+y \right)$ $=4049.\left( -18207 \right)-{{\left( -2020 \right)}^{2}}.\left( -3 \right)$ $=-73720143-12241200$ $=-85961343$.
