Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 16: Cho $x$ là số thực dương thỏa mãn điều kiện ${{x}^{2}}-x-1=0$. Tính giá trị của các biểu thức $A={{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}}$ ; $B={{x}^{7}}+\frac{1}{{{x}^{7}}}$ ; $C=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$. Lời giải: Ta có ${{x}^{2}}-x-1=0\Leftrightarrow x-1-\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1$ (chia cả hai vế cho $x>0$). Do đó ${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2+\frac{1}{{{x}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=3\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}=5$ Vì $x>0$ nên $x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$ Do đó $A={{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\left( x-\frac{1}{x} \right)\left( x+\frac{1}{x} \right)=1.\sqrt{5}=\sqrt{5}$. Ta có ${{x}^{3}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{3}}-\left( x+\frac{1}{x} \right)={{\left( \sqrt{5} \right)}^{3}}-\sqrt{5}=4\sqrt{5}$. Ta có ${{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-2={{3}^{2}}-2=7$. Ta có $\left( {{x}^{3}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)\left( {{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)={{x}^{7}}+\frac{1}{{{x}^{7}}}+x+\frac{1}{x}$ Do đó $B={{x}^{7}}+\frac{1}{{{x}^{7}}}=\left( {{x}^{3}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)\left( {{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)-\left( x+\frac{1}{x} \right)=4\sqrt{5}.7-\sqrt{5}=27\sqrt{5}$. Ta có $x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}\Leftrightarrow x+2+\frac{1}{x}=2+\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{2}}=2+\sqrt{5}$ Vậy $C=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{2+\sqrt{5}}$. Bài 17: Cho biểu thức $A=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$ với $x\ge 1$. a) Rút gọn biểu thức $A$. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$. Lời giải: a) $A=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$ $A=\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}$ $A=\sqrt{{{\left( \sqrt{x-1}+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)}^{2}}}$ $A=\left| \sqrt{x-1}+1 \right|+\left| \sqrt{x-1}-1 \right|$ $A=\sqrt{x-1}+1+\left| \sqrt{x-1}-1 \right|$ (vì $\sqrt{x-1}+1>0$) Nếu $\sqrt{x-1}-1\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}\ge 1\Leftrightarrow x\ge 2$ thì $A=2\sqrt{x-1}$. Nếu $\sqrt{x-1}-1\le 0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}\le 1\Leftrightarrow 1\le x\le 2$ thì $A=2$. b) Cách 1: Khi $x\ge 2$ thì $x-1\ge 1\Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}\ge 2$ hay $A\ge 2$ Theo kết quả câu a) thì $A\ge 2$ với mọi $x\ge 1$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $1\le x\le 2$. Vậy $\min A=2$ đạt được khi $1\le x\le 2$. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức $\left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|$ với mọi $x,y$. Dấu “=” xảy ra khi $xy\ge 0$. Theo câu a) ta có: $A=\left| \sqrt{x-1}+1 \right|+\left| \sqrt{x-1}-1 \right|$ $A=\left| \sqrt{x-1}+1 \right|+\left| 1-\sqrt{x-1} \right|\ge \left| \sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1} \right|=2$ với mọi $x\ge 1$. Dấu “=” xảy ra khi $\left( \sqrt{x-1}+1 \right)\left( 1-\sqrt{x-1} \right)\ge 0\Leftrightarrow 1-\left( x-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\le 2$. Kết hợp với ĐKXĐ ta được: $\min A=2$ đạt được khi $1\le x\le 2$. Nhận xét: Cách 2 thường được áp dụng trong trường hợp đề bài không có câu a). Bài 18: Cho biểu thức $A=\sqrt{x+2+\sqrt{2x+3}}-\sqrt{x+2-\sqrt{2x+3}}$ với $x\ge -\frac{3}{2}$. a) Rút gọn biểu thức $A$. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A$. Lời giải: a) Cách 1: Dễ thấy $\sqrt{x+2+\sqrt{2x+3}}\ge \sqrt{x+2-\sqrt{2x+3}}$ nên $A\ge 0$ với mọi $x\ge -\frac{3}{2}$. Bình phương hai vế của biểu thức $A$ ta được: ${{A}^{2}}=x+2+\sqrt{2x+3}+x+2-\sqrt{2x+3}-2\sqrt{\left( x+2+\sqrt{2x+3} \right)\left( x+2-\sqrt{2x+3} \right)}$ ${{A}^{2}}=2x+4-2\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4-2x-3}$ ${{A}^{2}}=2x+4-2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=2x+4-2\left| x+1 \right|$ Nếu $x+1\ge 0$ hay $x\ge -1$ thì $\left| x+1 \right|=x+1$, khi đó ${{A}^{2}}=2$ hay $A=\sqrt{2}$. Nếu $x+1<0$ hay $-\frac{3}{2}\le x<-1$ thì $\left| x+1 \right|=-x-1$, khi đó ${{A}^{2}}=4x+6$ hay $A=\sqrt{4x+6}$. Cách 2: $A=\sqrt{x+2+\sqrt{2x+3}}-\sqrt{x+2-\sqrt{2x+3}}$ $A\sqrt{2}=\sqrt{2x+4+2\sqrt{2x+3}}-\sqrt{2x+4-2\sqrt{2x+3}}$ $A\sqrt{2}=\sqrt{2x+3+2\sqrt{2x+3}+1}-\sqrt{2x+3-2\sqrt{2x+3}+1}$ $A\sqrt{2}=\sqrt{{{\left( \sqrt{2x+3}+1 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{2x+3}-1 \right)}^{2}}}$ $A\sqrt{2}=\left| \sqrt{2x+3}+1 \right|-\left| \sqrt{2x+3}-1 \right|$ $A\sqrt{2}=\sqrt{2x+3}+1-\left| \sqrt{2x+3}-1 \right|$ Nếu $\sqrt{2x+3}-1\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}\ge 1\Leftrightarrow 2x+3\ge 1\Leftrightarrow x\ge -1$ thì $A\sqrt{2}=2$ hay $A=\sqrt{2}$. Nếu $\sqrt{2x+3}-1<0\Leftrightarrow -\frac{3}{2}\le x<-1$ thì $A\sqrt{2}=2\sqrt{2x+3}$ hay $A=\sqrt{4x+6}$. b) Cách 1: Với $-\frac{3}{2}\le x<-1\Leftrightarrow -3\le 2x<-2\Leftrightarrow 0\le 2x+3<1\Leftrightarrow 0\le 4x+6<2$ hay $0\le A<\sqrt{2}$. Theo kết quả câu a) thì $0\le A\le \sqrt{2}$ với mọi $x\ge -\frac{3}{2}$. $A=\sqrt{2}$ khi và chỉ khi $x\ge -1$. Vậy $\max A=\sqrt{2}$ đạt được khi $x\ge -1$. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức $\left| x \right|-\left| y \right|\le \left| x-y \right|$ với mọi $x,y$. Dấu “=” xảy ra khi $y\left( x-y \right)\ge 0$. Theo câu a) ta có $A\sqrt{2}=\left| \sqrt{2x+3}+1 \right|-\left| \sqrt{2x+3}-1 \right|\le \left| \sqrt{2x+3}+1-\sqrt{2x+3}+1 \right|=2$ hay $A\le \sqrt{2}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi$\left( \sqrt{2x+3}-1 \right)\left( \sqrt{2x+3}+1-\sqrt{2x+3}+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$. Vậy $\max A=\sqrt{2}$ đạt được khi $x\ge -1$.
