Dạng toán rút gọn, tính giá trị biểu thức lớp 8&9 _ Kì 7

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC
    --------- ---------

    Bài 19:

    a) Cho a, b là các số thực thỏa mãn $a+b+3\sqrt[3]{ab}=1$.
    Tính giá trị của biểu thức $M=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$.
    b) Rút gọn biểu thức $N=\frac{\sqrt{7+\sqrt{5}}+\sqrt{7-\sqrt{5}}}{\sqrt{7+2\sqrt{11}}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$.
    Lời giải:
    a) Ta có $M=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$
    $ \Leftrightarrow {{M}^{3}}=a+b+3\sqrt[3]{ab}\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \right) $
    $ \Leftrightarrow {{M}^{3}}=1-3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{ab}.M $
    $ \Leftrightarrow {{M}^{3}}-1-3\sqrt[3]{ab}\left( M-1 \right)=0\,\,\,\,\,\,\left( v\grave{i}\,\,a+b+3\sqrt[3]{ab}=1 \right) $
    $ \Leftrightarrow \left( M-1 \right)\left( {{M}^{2}}+M+1-3\sqrt[3]{ab} \right)=0 $
    · Nếu $M-1=0$ thì $M=1$.
    · Nếu ${{M}^{2}}+M+1-3\sqrt[3]{ab}=0$
    $ \Leftrightarrow {{\left( \frac{M}{2}+1 \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{M}^{2}}-3\sqrt[3]{ab}=0 $
    $ \Leftrightarrow {{\left( \frac{M}{2}+1 \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \right)}^{2}}-3\sqrt[3]{ab}=0 $
    $ \Leftrightarrow {{\left( \frac{M}{2}+1 \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}}+\sqrt[3]{{{b}^{2}}}+2\sqrt[3]{ab}-4\sqrt[3]{ab} \right)=0 $
    $ \Leftrightarrow {{\left( \frac{M}{2}+1 \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right)}^{2}}=0 $
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{\left( \frac{M}{2}+1 \right)}^{2}}=0 \\
    & {{\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right)}^{2}}=0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & M=-2 \\
    & a=b=-1 \\
    \end{align} \right. $
    Vậy $M=1$ hoặc $M=-2$.

    b) Đặt $A=\frac{\sqrt{7+\sqrt{5}}+\sqrt{7-\sqrt{5}}}{\sqrt{7+2\sqrt{11}}}$.
    $\begin{align}
    & \Rightarrow {{A}^{2}}=\frac{7+\sqrt{5}+7-\sqrt{5}+2\sqrt{\left( 7+\sqrt{5} \right)\left( 7-\sqrt{5} \right)}}{7+2\sqrt{11}} \\
    & \Rightarrow {{A}^{2}}=\frac{14+4\sqrt{11}}{7+2\sqrt{11}}=2 \\
    & \Rightarrow A=\sqrt{2}\,\,\,\,\left( v\grave{i}\,\,A>0 \right) \\
    \end{align}$
    Do đó $N=\sqrt{2}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}-\left( \sqrt{2}-1 \right)=1$.


    Bài 20:
    1.
    Cho a, b, c , x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\sqrt{x}=\sqrt{by}+\sqrt{cz}$; $\sqrt{y}=\sqrt{ax}+\sqrt{cz}$; $\sqrt{z}=\sqrt{ax}+\sqrt{by}$.
    Chứng minh rằng $\frac{1}{1+\sqrt{a}}+\frac{1}{1+\sqrt{b}}+\frac{1}{1+\sqrt{c}}=2$.
    2.
    a) Rút gọn biểu thức $A=\frac{x}{\sqrt{xy}+y}+\frac{y}{\sqrt{xy}-x}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$ với $xy>0;\,\,x\ne y$.
    b) Tính giá trị biểu thức A, biết rằng 2x2 – 3y2 = 5xy.
    Giải:
    1.
    Ta có $\sqrt{x}=\sqrt{by}+\sqrt{cz}$; $\sqrt{y}=\sqrt{ax}+\sqrt{cz}$; $\sqrt{z}=\sqrt{ax}+\sqrt{by}$.
    Suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{by}+\sqrt{cz}+\sqrt{ax}+\sqrt{cz}+\sqrt{ax}+\sqrt{by}$
    $\begin{align}
    & =2\sqrt{ax}+2\sqrt{by}+2\sqrt{cz} \\
    & =2\sqrt{ax}+2\left( \sqrt{by}+\sqrt{cz} \right) \\
    & =2\sqrt{ax}+2\sqrt{x} \\
    & =2\sqrt{x}\left( 1+\sqrt{a} \right) \\
    \end{align}$
    Từ đó suy ra $\frac{1}{1+\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$.
    Chứng minh tương tự ta được: $\frac{1}{1+\sqrt{b}}=\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$; $\frac{1}{1+\sqrt{c}}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$.
    Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: $\frac{1}{1+\sqrt{a}}+\frac{1}{1+\sqrt{b}}+\frac{1}{1+\sqrt{c}}=2$.

    2.

    a) Rút gọn biểu thức $A=\frac{x}{\sqrt{xy}+y}+\frac{y}{\sqrt{xy}-x}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$ với $xy>0;\,\,x\ne y$.
    Ta có:
    $\begin{align}
    & A=\frac{x\left( \sqrt{xy}-x \right)+y\left( \sqrt{xy}+y \right)}{\left( \sqrt{xy}+y \right)\left( \sqrt{xy}-x \right)}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\
    & A=\frac{x\sqrt{xy}-{{x}^{2}}+y\sqrt{xy}+{{y}^{2}}}{xy-x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-xy}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\
    & A=\frac{\sqrt{xy}\left( x+y \right)-\left( x-y \right)\left( x+y \right)}{\sqrt{xy}\left( y-x \right)}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\
    & A=\frac{\left( x+y \right)\left( \sqrt{xy}-x+y \right)}{\sqrt{xy}\left( y-x \right)}-\frac{\left( x+y \right)\left( y-x \right)}{\sqrt{xy}\left( y-x \right)} \\
    & A=\frac{\left( x+y \right)\left( \sqrt{xy}-x+y-y+x \right)}{\sqrt{xy}\left( y-x \right)}=\frac{y+x}{y-x} \\
    \end{align}$

    b) Ta có 2x2 – 3y2 = 5xy
    $\begin{align}
    & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}-5xy=0 \\
    & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+xy-6xy-3{{y}^{2}}=0 \\
    & \Leftrightarrow x\left( 2x+y \right)-3y\left( 2x+y \right)=0 \\
    & \Leftrightarrow \left( 2x+y \right)\left( x-3y \right)=0 \\
    \end{align}$
    Vì $xy>0;\,\,x\ne y$ nên $x-3y=0\Rightarrow x=3y$.
    Do đó $A=\frac{y+x}{y-x}=\frac{y+3y}{y-3y}=\frac{4y}{-2y}=-2$.


    Bài 21:

    a) Tính giá trị của biểu thức $A={{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{4}}+x+1}$ với $x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}$.
    b) Cho $2<x\le 4$ và $\sqrt{x}+\sqrt{4-x}=a$. Tính giá trị biểu thức $B=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}}{x-2}$ theo a.
    Giải:
    a) Ta có $x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}>0$
    $\begin{align}
    & \Rightarrow 8x=\sqrt{16\sqrt{2}+2}-\sqrt{2} \\
    & \Rightarrow 8x+\sqrt{2}=\sqrt{16\sqrt{2}+2} \\
    & \Rightarrow 64{{x}^{2}}+16x\sqrt{2}+2=16\sqrt{2}+2 \\
    & \Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{\sqrt{2}-x\sqrt{2}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\
    & \Rightarrow {{x}^{4}}=\frac{2-4x+2{{x}^{2}}}{16}=\frac{1-2x+{{x}^{2}}}{8} \\
    & \Rightarrow {{x}^{4}}+x+1=\frac{1-2x+{{x}^{2}}}{8}+x+1=\frac{9+6x+{{x}^{2}}}{8}=\frac{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}{8} \\
    & \Rightarrow \sqrt{{{x}^{4}}+x+1}=\frac{x+3}{2\sqrt{2}}\,\,\,\,\,\left( v\grave{i}\,x>0 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
    \end{align}$
    Từ (1) và (2) suy ra:
    $A={{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{4}}+x+1}=\frac{\sqrt{2}-x\sqrt{2}}{4}+\frac{x+3}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-x\sqrt{2}}{4}+\frac{x\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$.

    b) Ta có $B=\frac{\sqrt{2-\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}}{x-2}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{x\left( 4-x \right)}}}{\left( x-2 \right)\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{4-x-2\sqrt{x\left( 4-x \right)}+x}}{\left( x-2 \right)\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{{{\left( \sqrt{x}-\sqrt{4-x} \right)}^{2}}}}{\left( x-2 \right)\sqrt{2}}$
    Suy ra $B=\frac{\left| \sqrt{x}-\sqrt{4-x} \right|}{\left( x-2 \right)\sqrt{2}}$.
    Vì $x>2\Rightarrow 2x>4\Rightarrow x>4-x\Rightarrow \sqrt{x}>\sqrt{4-x}$
    Do đó $B=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{4-x}}{\left( x-2 \right)\sqrt{2}}=\frac{x-\left( 4-x \right)}{\sqrt{2}\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{4-x} \right)}=\frac{2\left( x-2 \right)}{\sqrt{2}\left( x-2 \right)a}=\frac{\sqrt{2}}{a}$.