Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 22: a) Cho $0<x<1$. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $A=\left( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}+x-1} \right)\left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}-\frac{1}{x} \right)$. b) Tính giá trị của biểu thức $B=\frac{1+2x}{1+\sqrt{1+2x}}+\frac{1-2x}{1-\sqrt{1-2x}}$ với $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Giải: a) $A=\left( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}+x-1} \right)\left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}-\frac{1}{x} \right)$ $A=\left[ \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}{\sqrt{\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)}-\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}} \right]\left( \sqrt{\frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{x} \right)$ $A=\left[ \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} \right]\left( \frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-1}{x} \right)$ $\begin{align} & A=\left[ \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} \right]\left( \frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-1}{x} \right) \\ & A=\frac{{{\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right)\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)}\left( \frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-1}{x} \right) \\ & A=\frac{2+2\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{2x}\left( \frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-1}{x} \right)=\frac{\left( 1-{{x}^{2}} \right)-1}{{{x}^{2}}}=-1 \\ \end{align}$ Vậy giá trị biểu thức $A=\left( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}+x-1} \right)\left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}-\frac{1}{x} \right)$ không phụ thuộc vào biến. b) Ta có $1+2x=1+\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}={{\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{1+2x}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ $1-2x=1-\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4}={{\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{1-2x}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ Do đó $B=\frac{{{\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)}^{2}}}{1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}}+\frac{{{\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)}^{2}}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=\frac{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}}{2\left( 3+\sqrt{3} \right)}+\frac{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}{2\left( 3-\sqrt{3} \right)}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1$. Bài 23: a) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tính giá trị biểu thức $A=x\sqrt{\frac{\left( 1+{{y}^{2}} \right)\left( 1+{{z}^{2}} \right)}{1+{{x}^{2}}}}+y\sqrt{\frac{\left( 1+{{z}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right)}{1+{{y}^{2}}}}+z\sqrt{\frac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}{1+{{z}^{2}}}}$. b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau là một số hữu tỉ. $B=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{2025\sqrt{2024}+2024\sqrt{2025}}$. Giải: a) Ta có $xy+yz+zx=1$ Do đó $1+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+xy+yz+zx=x\left( x+y \right)+z\left( x+y \right)=\left( x+y \right)\left( x+z \right)$. Tương tự ta được: $1+{{y}^{2}}=\left( y+z \right)\left( y+x \right)$; $1+{{z}^{2}}=\left( z+x \right)\left( z+y \right)$. Do đó $x\sqrt{\frac{\left( 1+{{y}^{2}} \right)\left( 1+{{z}^{2}} \right)}{1+{{x}^{2}}}}=x\sqrt{\frac{\left( y+z \right)\left( y+x \right)\left( z+x \right)\left( z+y \right)}{\left( x+y \right)\left( x+z \right)}}=x\left( y+z \right)=xy+zx$. Tương tự ta được: $y\sqrt{\frac{\left( 1+{{z}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right)}{1+{{y}^{2}}}}=xy+yz$; $z\sqrt{\frac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}{1+{{z}^{2}}}}=zx+yz$. Vậy $A=2\left( xy+yz+zx \right)=2.1=2$. b) Số hạng tổng quát có dạng $\frac{1}{\left( k+1 \right)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$ với $k\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Ta có $\frac{1}{\left( k+1 \right)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k}.\sqrt{k+1}\left( \sqrt{k+1}+\sqrt{k} \right)}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}.\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Cho k nhận giá trị lần lượt từ 1 đến 2024 ta được: $\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}$ ……………………. $\frac{1}{2025\sqrt{2024}+2024\sqrt{2025}}=\frac{1}{\sqrt{2024}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}$ Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được: $B=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}=1-\frac{1}{45}=\frac{44}{45}$ là số hữu tỉ. Bài 24: a) Chứng minh nếu $a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ thì $\sqrt[3]{a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$. b) Cho $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$. Tính giá trị biểu thức $A={{\left( {{x}^{3}}-3x-19 \right)}^{2019}}+2020$. Giải: a) Đặt $a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}=k\Rightarrow a{{x}^{2}}=\frac{k}{x};\,\,\,b{{y}^{2}}=\frac{k}{y};\,\,\,c{{z}^{2}}=\frac{k}{z}$ . Do đó $\sqrt[3]{a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}}}=\sqrt[3]{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}=\sqrt[3]{k\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)}=\sqrt[3]{k}$ (vì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$) (1) Ta lại có $a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}=k\Rightarrow a=\frac{k}{{{x}^{3}}};\,\,\,b=\frac{k}{{{y}^{3}}};\,\,\,c=\frac{k}{{{z}^{3}}}$ . Do đó $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{\frac{k}{{{x}^{3}}}}+\sqrt[3]{\frac{k}{{{y}^{3}}}}+\sqrt[3]{\frac{k}{{{z}^{3}}}}=\sqrt[3]{k}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)=\sqrt[3]{k}$ (vì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$) (2) Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt[3]{a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$. b) Ta có $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ $\begin{align} & \Rightarrow {{x}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right)}^{3}} \\ & \Rightarrow {{x}^{3}}=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}.\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\left( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right) \\ & \Rightarrow {{x}^{3}}=18+3\sqrt[3]{81-80}.x \\ & \Rightarrow {{x}^{3}}=18+3x \\ & \Rightarrow {{x}^{3}}-3x-19=-1 \\ \end{align}$ Do đó $A={{\left( {{x}^{3}}-3x-19 \right)}^{2019}}+2020={{\left( -1 \right)}^{2019}}+2020=-1+2020=2019$.
