Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 25: a) Cho ${{a}^{3}}-3a{{b}^{2}}=10$ và ${{b}^{3}}-3b{{a}^{2}}=5$. Tính giá trị biểu thức $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$. b) Cho ${{a}^{3}}+3a{{b}^{2}}=5$ và ${{b}^{3}}+3b{{a}^{2}}=3$. Tính giá trị biểu thức $Q={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$. Giải: a) Ta có ${{a}^{3}}-3a{{b}^{2}}=10$ $\Rightarrow {{\left( {{a}^{3}}-3a{{b}^{2}} \right)}^{2}}=100$ $\Rightarrow {{a}^{6}}-6{{a}^{4}}{{b}^{2}}+9{{a}^{2}}{{b}^{4}}=100$ (1) Ta có ${{b}^{3}}-3b{{a}^{2}}=5$ $\Rightarrow \left( {{b}^{3}}-3b{{a}^{2}} \right)=25$ $\Rightarrow {{b}^{6}}-6{{b}^{4}}{{a}^{2}}+9{{b}^{2}}{{a}^{4}}=25$ (2) Cộng (1) và (2) VTV ta được: ${{a}^{6}}+3{{a}^{4}}{{b}^{2}}+3{{a}^{2}}{{b}^{4}}+{{b}^{6}}=125$ $\Rightarrow P={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}=125\Rightarrow P=\sqrt[3]{125}=5$. b) Ta có ${{a}^{3}}+3a{{b}^{2}}=5$và ${{b}^{3}}+3b{{a}^{2}}=3$ $\Rightarrow \left( {{a}^{3}}+3a{{b}^{2}} \right)-\left( {{b}^{3}}+3b{{a}^{2}} \right)=5-3$ $\Rightarrow {{\left( a-b \right)}^{3}}=2$ $\Rightarrow a-b=\sqrt[2]{2}$ Ta có ${{a}^{3}}+3a{{b}^{2}}=5$ và ${{b}^{3}}+3b{{a}^{2}}=3$ $\Rightarrow \left( {{a}^{3}}+3a{{b}^{2}} \right)+\left( {{b}^{3}}+3b{{a}^{2}} \right)=5+3$ $\begin{align} & \Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{3}}=8 \\ & \Rightarrow a+b=2 \\ \end{align}$ Do đó $2Q=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)={{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}={{2}^{2}}-{{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{2}}=4-\sqrt[3]{4}\Rightarrow Q=\frac{4-\sqrt[3]{4}}{2}$. Bài 26: a) Cho $A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2019}$; $B=\frac{2018}{1}+\frac{2017}{2}+\frac{2016}{3}+...+\frac{2}{2017}+\frac{1}{2018}$. Tính tỉ số $\frac{A}{B}$. b) Cho ${{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5a-17=0$ và ${{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+5b+11=0$. Tính tổng $a+b$. Giải: a) Ta có $B=\frac{2018}{1}+\frac{2017}{2}+\frac{2016}{3}+...+\frac{2}{2017}+\frac{1}{2018}$ $\begin{align} & B=1+\left( \frac{2017}{2}+1 \right)+\left( \frac{2016}{3}+1 \right)+...+\left( \frac{2}{2017}+1 \right)+\left( \frac{1}{2018}+1 \right) \\ & B=\frac{2019}{2019}+\frac{2019}{2}+\frac{2019}{3}+...+\frac{2019}{2017}+\frac{2019}{2018} \\ & B=2019\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2019} \right)=2019A \\ \end{align}$ Do đó $\frac{A}{B}=\frac{1}{2019}$. b) Ta có ${{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+5a-17=0\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{3}}+2a-16=0$ (1) ${{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+5b+11=0\Rightarrow {{\left( b-1 \right)}^{3}}+2b+12=0$ (2) Cộng (1) và (2) VTV ta được: ${{\left( a-1 \right)}^{3}}+{{\left( b-1 \right)}^{3}}+2a+2b-4=0$ $\Leftrightarrow \left( a+b-2 \right)\left[ {{\left( a-1 \right)}^{2}}-\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]+2\left( a+b-2 \right)=0$ $\begin{align} & \Leftrightarrow \left( a+b-2 \right)\left[ {{\left( a-1 \right)}^{2}}-\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+2 \right]=0 \\ & \Leftrightarrow \left( a+b-2 \right)\left[ {{\left( a-1-\frac{b-1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{\left( b-1 \right)}^{2}}+2 \right]=0 \\ \end{align}$ $\Leftrightarrow a+b-2=0$ (vì ${{\left( a-1-\frac{b-1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{\left( b-1 \right)}^{2}}+2>0$) $\Leftrightarrow a+b=2$. Bài 27: a) Cho x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn ${{x}^{3}}=3x-1\,\,;\,\,{{y}^{3}}=3y-1\,\,;\,\,{{z}^{3}}=3z-1$. Chứng minh rằng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6$. b) Tính giá trị biểu thức $A=\frac{{{x}^{6}}-6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-143}{{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-15x+2007}$ tại $x=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}$. Giải: a) Ta có ${{x}^{3}}=3x-1\,\,;\,\,{{y}^{3}}=3y-1\,\,;\,\,{{z}^{3}}=3z-1$ Từ đó suy ra: $\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=3\left( x-y \right) \\ & {{y}^{3}}-{{z}^{3}}=3\left( y-z \right) \\ & {{z}^{3}}-{{x}^{3}}=3\left( z-x \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=3\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}}=3\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & {{z}^{2}}+zx+{{x}^{2}}=3\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.$ (vì x, y, z đôi một khác nhau). Lấy (1) trừ (2) VTV ta được: $\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-\left( {{y}^{2}}+\text{y}z+{{z}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-{{z}^{2}} \right)+\left( xy-yz \right)=0\Leftrightarrow \left( x-z \right)\left( x+y+z \right)=0$. Do x và z khác nhau nên suy ra x + y + z = 0. Cộng (1), (2) và (3) VTV ta được: $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+\left( xy+yz+zx \right)=9$ $\begin{align} & \Leftrightarrow 4\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+2\left( xy+yz+zx \right)=18 \\ & \Leftrightarrow 3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+{{\left( x+y+z \right)}^{2}}=18 \\ \end{align}$ $\Leftrightarrow 3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=18$ (vì x + y + z = 0) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6$. b) Ta có $x=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}$ $\begin{align} & \Rightarrow {{x}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}} \right)}^{3}} \\ & \Rightarrow {{x}^{3}}=6-\sqrt{35}+6+\sqrt{35}+3\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}.\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\left( \sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}} \right) \\ & \Rightarrow {{x}^{3}}=12+3x \\ & \Rightarrow {{x}^{3}}-3x-12=0 \\ \end{align}$ Do đó: $\left\{ \begin{align} & {{x}^{6}}-6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-143={{\left( {{x}^{3}}-3x \right)}^{2}}-143={{12}^{2}}-143=1 \\ & {{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-15x+2007=x\left( {{x}^{3}}-3x-12 \right)+\left( {{x}^{3}}-3x-12 \right)+2019=2019 \\ \end{align} \right.$. Vậy $A=\frac{{{x}^{6}}-6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-143}{{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-15x+2007}=\frac{1}{2019}$.
