LTTK TEZ giới thiệu đến bạn đọc bài viết dao động điều hòa – tổng hợp dao động điều hòa trong chương trình Vật lý 12. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Dao động cơ Dao động cơ là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng, chẳng hạn chiếc thuyền nhấp nhô tại chỗ neo đậu quanh vị trí của thuyền khi nó đứng yên (vị trí cân bằng). Dao động cơ của một vật có thể là tuần hoàn hoặc không tuần hoàn. Nếu sau những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kì, vật trở lại vị trí cũ với vận tốc như cũ thì dao động của vật là dao động tuần hoàn. Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hòa. 2. Dao động điều hòa a) Định nghĩa Chọn trục tọa độ $Ox$, gốc $O$ tại vị trí cân bằng của vật. Tọa độ $x$ của vật dao động dọc theo trục $Ox$ tính từ vị trí cân bằng gọi là li độ. Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hay sin) của thời gian: $x = A\cos (\omega t + \varphi ).$ Phương trình $x = A\cos (\omega t + \varphi )$ được gọi là phương trình của dao động điều hòa. b) Mối liên hệ giữa dao động điều hòa của điểm $P$ và chuyển động tròn đều (với tốc độ góc $\omega $) của điểm $M$ Điểm $P$ dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể coi là hình chiếu của một điểm $M$ chuyển động tròn đều lên đường kính trên đoạn thẳng đó. Khi điểm $M$ chuyển động được một vòng thì điểm $P$ thực hiện được một dao động toàn phần và trở lại vị trí cũ theo hướng cũ. c) Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa Trong phương trình $x = A\cos (\omega t + \varphi )$ thì: + $A$ là biên độ dao động, đó là giá trị cực đại của li độ $x$ ứng với lúc $\cos (\omega t + \varphi ) = 1$ (vị trí biên). Biên độ luôn luôn dương. + $\omega t + \varphi $ là pha của dao động tại thời điểm $t$, có đơn vị là rađian (rad). Với một biên độ đã cho, pha là đại lượng xác định li độ $x$ của dao động. + $\varphi $ là pha ban đầu (pha tại thời điểm $t = 0$) có thể dương, âm hoặc bằng $0.$ Trong một chuyển động cụ thể thì $A$ và $\varphi $ có giá trị xác định, tùy theo cách kích thích dao động. + Chu kì của dao động điều hòa, kí hiệu $T$, là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần: $T = \frac{{2\pi }}{\omega }$ (đơn vị là giây (s)). + Tần số của dao động điều hòa, kí hiệu $f$, là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây, có đơn vị là héc (Hz) hoặc $1.{s^{ – 1}}.$ + Hệ thức: $\omega = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f.$ 3. Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa. Lực kéo về a) Vận tốc trong đao động điều hòa $v = x’ = – \omega A\sin (\omega t + \varphi )$ $ = \omega A\cos \left( {\omega t + \varphi + \frac{\pi }{2}} \right).$ Vận tốc biến thiên điều hòa sớm pha $\frac{\pi }{2}$ so với li độ. Đồ thị vận tốc (đường dứt nét $(1)$) đối chiếu với đồ thị li độ (đường liền nét $(2)$) được vẽ trên hình. Ở vị trí giới hạn (vị trí biên) $x = \pm A$ thì vận tốc có giá trị bằng $0.$ Ở vị trí cân bằng $x = 0$, vận tốc có độ lớn cực đại, bằng $\omega {\rm{A}}$: $\left| {{v_{\max }}} \right| = \omega A.$ + Hệ thức giữa $x$, $v$ và $\omega :$ ${A^2} = {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}.$ b) Gia tốc trong dao động điều hòa$a = x” = – {\omega ^2}A\cos (\omega t + \varphi ) = – {\omega ^2}x.$ Gia tốc luôn luôn ngược dấu với li độ (biến thiên ngược pha với li độ) và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ. c) Lực tác dụng lên vật dao động điều hòaLực tác dụng lên vật dao động điều hòa $F = ma = – m{\omega ^2}x = – kx$ luôn luôn hướng về vị trí cân bằng, gọi là lực kéo về. 4. Phương trình động lực học của dao động điều hòa Phương trình dao động điều hòa $x = A\cos (\omega t + \varphi )$ là nghiệm của phương trình $x” + {\omega ^2}x = 0.$ Đó là phương trình động lực học của dao động điều hòa. 5. Vectơ quay. Tổng hợp dao động a) Vectơ quay Để biểu diễn dao động điều hòa, người ta dùng một vectơ $\overrightarrow {OM} $ có độ dài là $A$ (biên độ) quay đều quanh điểm $O$ trong mặt phẳng chứa trục $Ox$ với tốc độ góc $\omega $ và vẽ vectơ quay tại thời điểm ban đầu $t = 0$, khi đó góc giữa trục $Ox$ và $\overrightarrow {OM} $ là $\varphi $ (pha ban đầu). (Chọn chiều dương là chiều dương của đường tròn lượng giác). Vào thời điểm $t$, góc giữa trục $Ox$ và $\overrightarrow {OM} $ sẽ là $\omega t + \varphi $, hình chiếu trên trục $Ox$ của vectơ quay $\overrightarrow {OM} $ chính là li độ $x$ của dao động điều hòa. b) Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương dao động, cùng tần số. Phương pháp giản đồ Fre-nen Để tìm dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: ${x_1} = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)$ và ${x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)$ người ta dùng phương pháp giản đồ Fre-nen. + Lần lượt vẽ hai vectơ quay $\overrightarrow {O{M_1}} $ và ${\overrightarrow {OM} _2}$ biểu diễn hai dao động ${x_1}$ và $x_2$ Vectơ $\overrightarrow {OM} = {\overrightarrow {OM} _1} + {\overrightarrow {OM} _2}$ có hình chiếu trên trục $Ox$ là tổng của $x_1$ và $x_2$ $x = {x_1} + {x_2}$, nên $\overrightarrow {OM} $ chính là vectơ quay biểu diễn dao động tổng hợp $x.$ Vectơ $\overrightarrow {OM} $ quay đều quanh $O$ với tốc độ góc cũng bằng $\omega .$ Như vậy dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương dao động, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương dao động, cùng tần số với hai dao động đó. Phương trình dao động tổng hợp: $x = A\cos (\omega t + \varphi )$, với: $A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} – {\varphi _1}} \right)} .$ $\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}.$ Đại lượng $\Delta \varphi = {\varphi _2} – {\varphi _1}$ là độ lệch pha của hai dao động thành phần. Nếu $\Delta \varphi > 0$ hay ${\varphi _2} > {\varphi _1}$, ta nói dao động $x_2$ sớm pha hơn dao động $x_1$ (hoặc dao động $x_1$ trễ pha hơn dao động $x_2$) một góc $\Delta \varphi .$ + Nếu $\Delta \varphi = 2n\pi $ $(n = 0; \pm 1; \pm 2; \ldots )$ thì hai dao động cùng pha, biên độ dao động tổng hợp là lớn nhất và bằng tổng hai biên độ $A = {A_1} + {A_2}.$ + Nếu $\Delta \varphi = (2n + 1)\pi $ $(n = 0; \pm 1; \pm 2; \ldots )$ thì hai dao động ngược pha, biên độ dao động tổng hợp nhỏ nhất và bằng $A = \left| {{A_1} – {A_2}} \right|.$ + Nói chung $\left| {{A_1} – {A_2}} \right| \le A \le {A_1} + {A_2}.$ II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa với biên độ $A = 2$ cm, tần số góc $\omega = 3,14$ rad/s. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật. Cách 1: Phương trình tổng quát của dao động điều hòa là: $x = A\cos (\omega t + \varphi ).$ Theo đề bài, lúc $t = 0$, $x = 0$ và $v > 0.$ $t = 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 = A\cos \varphi \Rightarrow \varphi = \pm \frac{\pi }{2}}\\ {{v_0} = – A\omega \sin \varphi > 0 \Rightarrow {\rm{chọn\:}}\varphi = – \frac{\pi }{2}} \end{array}} \right.$ Ta có: $x = 2\cos \left( {3,14t – \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm). Cách 2: Hình chiếu trên trục $Ox$ của vectơ quay $OM$ (có độ dài $A$, tốc độ góc $\omega $) biểu diễn dao động điều hòa, chính là li độ $x$ của dao động. Theo đề bài, lúc $t = 0$, $x = 0$ và $v > 0$, ứng với vectơ quay $OM$ vuông góc với trục $Ox$, hướng xuống, nên pha ban đầu $\varphi = – \frac{\pi }{2}.$ Vậy: $x = 2\cos \left( {3,14t – \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm). Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa có đồ thị vận tốc theo thời gian như hình vẽ. Viết phương trình dao động của vật. Từ đồ thị vận tốc, suy ra: + Chu kì: $T = 0,2s$ $ \Rightarrow \omega = \frac{{2\pi }}{T} = 10\pi $ rad/s. + Độ lớn cực đại của vận tốc: $\left| {{v_{\max }}} \right| = \omega A = 20\pi $ cm/s. Suy ra, biên độ dao động: $A = 2$ cm. Biểu thức của vận tốc : $v = 20\pi \sin \pi t = 20\pi \cos \left( {10\pi t – \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm/s). Li độ biến thiên điều hòa trễ pha $\frac{\pi }{2}$ so với vận tốc nên: $x = 2\cos (10\pi t – \pi )$ (cm). Ví dụ 3. Một vật dao động điều hòa có phương trình dao động là: $x = 2\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ ($x$ tính bằng cm, $t$ tính bằng s), lấy ${\pi ^2} \approx 10.$ Vận tốc của vật khi vật có li độ $x = 1$ cm có độ lớn bằng bao nhiêu? Từ hệ thức giữa $x$, $v$ và $\omega $: ${A^2} = {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$, suy ra: $|v| = \omega \sqrt {{A^2} – {x^2}} $ $ = \pi \sqrt {{2^2} – {1^2}} = \pi \sqrt 3 \approx 5,44$ cm/s. Ví dụ 4. Một vật dao động điều hòa với biên độ $4$cm, tần số $20$Hz. Chọn gốc thời gian là lúc vật có li độ $2\sqrt 3 $ cm và chuyển động ngược chiều với chiều dương đã chọn. Viết phương trình dao động của vật. Phương trình dao động có dạng: $x = A\cos (\omega t + \varphi ).$ Suy ra vận tốc $v = – \omega A\sin (\omega t + \varphi ).$ Trong đó $A = 4$cm, $\omega = 2\pi f = 40\pi $ rad/s. Chọn gốc thời gian $t = 0$ là lúc $x = 2\sqrt 3 $ cm và $v < 0$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos \varphi = + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\ {\sin \varphi > 0} \end{array}} \right.$ Suy ra phương trình dao động của vật là: $x = 4\cos \left( {40\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm). Ví dụ 5. Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: $x = 4\cos \left( {50t – \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm/s). Tính quãng đường mà chất điên đi được sau khoảng thời gian$t = \frac{\pi }{{12}}s$, kể từ $t = 0.$ Ta có: $\frac{t}{T} = \frac{\pi }{{12}} \cdot \frac{{50}}{{2\pi }} = 2 + \frac{1}{{12}}$ $ \Rightarrow t = 2T + \frac{T}{{12}}.$ – Sau hai chu kì, chất điểm đã đi được: ${S_{2T}} = 8A.$ – Sau $\frac{T}{{12}}$, kể từ lúc $t = 0$, chất điểm đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ $x = + \frac{A}{2}.$ Vì vậy, quãng đường mà chất điểm đi được sau một khoảng thời gian $t = \frac{\pi }{{12}}s$, kể từ $t = 0$ là: $s = {s_{2T}} + {s_{\frac{T}{{12}}}}$ $ = 8A + \frac{A}{2} = 8,5A$ $ = 8,5.4 = 34.$ Ví dụ 6. Hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là: ${x_1} = 2\cos \pi t$ (cm) và ${x_2} = 2\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm). Hãy tìm phương trình của dao động tổng hợp. Cách 1: Do $x_1$ và $x_2$ vuông pha nhau và ${A_1} = {A_2} = 2$cm, nên: $A = {A_1}\sqrt 2 = 2\sqrt 2 $cm. $\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}$ $ = \frac{{2.0 + 2.1}}{{2.1 + 2.0}} = 1$ $ \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{4}.$ Vậy: $x = 2\sqrt 2 \cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm). Cách 2: Phương pháp giản đồ Fre-nen. ${x_1} = 2\cos \pi t$ (cm) $ \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}} $ $\left( {{A_1} = 2;{\varphi _1} = 0} \right).$ ${x_2} = 2\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm) $ \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_2}} $ $\left( {{A_2} = 2;{\varphi _2} = + \frac{\pi }{2}} \right).$ $x = {x_1} + {x_2}$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow A = \overrightarrow {{A_1}} + \overrightarrow {{A_2}} .$ Từ giản đồ Fre-nen, suy ra: $\overrightarrow A $ $\left( {A = 2\sqrt 2 ;\varphi = + \frac{\pi }{4}} \right).$ Vậy: $x = 2\sqrt 2 \cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm). Ví dụ 7. Câu nào sau đây là sai khi nói về dao động điều hòa? A. Dao động có li độ biến thiên theo định luật dạng sin (hay cosin) với thời gian gọi là dao động điều hòa. B. Lực kéo về tác dụng lên vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số với vật. C. Chu kì của vật dao động điều hòa phụ thuộc biên độ dao động. D. Vectơ vận tốc $\overrightarrow v $ của vật dao động điều hòa biến thiên theo định luật dạng sin (hay cosin) đối với thời gian. Trong dao động điều hòa chu kì (hoặc tần số) của vật không phụ thuộc vào biên độ. Chọn C. Ví dụ 8. Câu nào sau đây là đúng khi nói về tính chất của dao động điều hòa? A. Khi vật dao động điều hòa đi qua vị trí biên thì gia tốc triệt tiêu. B. Gia tốc trong dao động điều hòa luôn luôn tỉ lệ và trái dấu với li độ. C. Chu kì của hệ dao động điều hòa phụ thuộc vào biên độ dao động. D. Vectơ vận tốc đổi chiều khi vật dao động điều hòa đi qua vị trí cân bằng. Gia tốc trong dao động điều hòa luôn luôn tỉ lệ và trái dấu với li độ. Chọn B. Ví dụ 9. Một vật dao động điều hòa với biên độ $4$cm. Khi nó có li độ là $2$cm thì vận tốc là $1$m/s. Tần số dao động là: A. $1$Hz. B. $1,2$Hz. C. $3$Hz. D. $4,6$Hz. Từ hệ thức ${A^2} = {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$, suy ra ${v^2} = {\omega ^2}\left( {{A^2} – {x^2}} \right).$ $ \Rightarrow {1^2} = {\omega ^2}(16 – 4){.10^{ – 4}}$ $ \Rightarrow \omega = \frac{{{{10}^2}}}{{\sqrt {12} }} = 28,87$ rad/s $ \Rightarrow f = 4,6$ Hz. Chọn D. Ví dụ 10. Một vật dao động điều hòa với phương trình: $x = 9\cos \left( {\pi t – \frac{\pi }{3}} \right)$ (cm). Khi vật đi từ vị trí $P$ (${x_P} = + 4,5$ cm) đến vị trí $Q$ (${x_Q} = – 4,5$ cm) thì tốc độ trung bình của vật là: A. $2,7$ cm/s. B. $27$ cm/s. C. $3$ cm/s. D. $0$ cm/s. Dựa vào mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, ta suy ra thời gian vật đi từ vị trí $P$ đến vị trí $Q$ bằng $\frac{T}{6} = \frac{1}{3}s.$ Tốc độ trung bình: ${v_{tb}} = \frac{s}{t} = \frac{9}{{\frac{1}{3}}} = 27$ cm/s. Chọn B. Ví dụ 11. Hai dao động điều hòa cùng phương có các phương trình dao động tương ứng là ${x_1} = 5\cos \left( {3\pi t – \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm) và ${x_2} = 5\sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm). Dao động tổng hợp có phương trình là: A. $x = 5\sqrt 2 \sin \left( {3\pi t – \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm). B. $x = 5\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm). C. $x = 5\sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)$ (cm). D. $x = 0$ (cm). $x_1$ và $x_2$ vuông pha nhau và ${A_1} = {A_2} = 5$ cm. Suy ra: $A = {A_1}\sqrt 2 = 5\sqrt 2 $ cm, $\varphi = \frac{\pi }{4}.$ Vậy: $x = 5\sqrt 2 \sin \left( {3\pi t – \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm). Chọn A.
