ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2009 Bài 1: (2,5 điểm) Cho hàm số $y = f(x) = 2(sin^{4}x + cos^{4}x) + 3m.sinx.cosx - 2m + 1$. Tìm $m$ để $f(x)$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x$. Bài 2: (2,5 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ xác định trên $R$ thoả: $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x).cosy$ (với mọi $x, y \in R$) Bài 3: (3,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ cho trước thì phương trình $x^{2n + 1} = x + 1$ có đúng một nghiệm thực. Gọi nghiệm đó là $x_n$. Tính $\lim_{n \to + \infty}x_n$ Bài 4: (3,0 điểm) Giải phương trình: $-2x^{3} + 10x^{2} - 17x + 8 = 2x^{2} \sqrt[3]{5x - x^{3}}$ Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a, CA=b, AB=c$. $M$ là điểm tuỳ ý bên trong tam giác $ABC$. CMR:$\dfrac{MB.MC}{bc} + \dfrac{MC.MA}{ca} + \dfrac{MA.MB}{ab} \geq 1$ Bài 6: (4,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều $SABCD$. Gọi $R, r$ lần lượt là bán kính hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp $SABCD$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{R}{r}$ Bài 7: (2,0 điểm) Cho $n$ là số nguyên dương sao cho $3^{n} - 1$ chia hết cho $2^{2009}$. CMR: $n \geq 2^{2007}$
