ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO CHUYÊN KHTN HÀ NỘI NĂM 2014 VÒNG 1 Câu 1: Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $P(x^{3})+x(P(x))^{2}=(P(x))^{3}+xP(x^{2})$ với mọi $x \in R$ Câu 2: Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số $m$ thỏa $2^{m} \equiv 2015(mod3^{n})$ và $2^{m} \equiv 3^{2015}(mod5^{n})$ Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định và $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp lần lượt tiếp xúc $CA$ và $AB$ ở $E,F$ . $IB , IC$ cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C$ . Gọi $S,T$ là tâm ngoại tiếp $IFN$ và $IEM$ . Lấy $P\in ST$ sao cho $IP || BC$ . Gọi đường thẳng qua $A$ vuông góc $IA$ cắt $(O)$ ở $K$ khác $A$ . Gọi $IK$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $K$ . $J$ là trung điểm $OI$ . Lấy $Q$ thuộc $JL$ sao cho $PQ = PI$ . Chứng minh $IQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển . Câu 4: Cho tập $S$ có $2015$ phần tử . Với mỗi số $n \leq 2^{2015}$ xét $n$ tập con $A_{i}$ phân biệt của $S$ . Đặt $B_{i} = S - A_{i}$ là phần bù của $A_{i}$ trong $S$ . Với $1\leq i \leq n$ được đánh dấu một trong hai tập $A_{i},B_{I}$ . Tìm $n$ nhỏ nhất để mọi cách chọn thì đều có một cách đánh dấu sao cho hợp của các tập được đánh dấu là $S$. Câu 5. Cho hai dãy $(x_n) , (y_n)$ thỏa mãn $x_0 = 1 , y_0 = 0$ và $x_n = 3x_{n-1}+4y_{n-1}$ và $y_n = 2x_{n-1}+3y_{n-1}$. Tìm số dư của phép chia $x_{2014}^2$ cho $y_{2015}$. Câu 6. Cho $a\ge 0$ và $b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P= \sqrt[5]{\dfrac{abc}{b+c}} + \sqrt[5]{\dfrac{b}{c(1+ab)}} + \sqrt[5]{\dfrac{c}{b(1+ac)}}.$$ Câu 7. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp. $M,N$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $CD,AB$. $P$ là điểm thuộc đoạn thẳng $CD$ sao cho $\dfrac{PD}{PC}=\dfrac{BD^2}{AC^2}$. $AC$ giao $BD$ tại $E$. $H$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $PN$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMP$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $EDC$ tiếp xúc nhau. Câu 8. Cho $n$-giác đều với $n\ge 6$. Một đường thẳng gọi là tốt nếu nó đi qua miền trong đa giác. Cho $m$ đường thẳng tốt cắt nhau tạo thành các đa giác con trong đa giác đã cho. Tìm $m$ bé nhất sao cho mọi cách kẻ mọi $m$ đường thẳng tốt tồn tại duy nhất đa giác con là tam hoặc tứ giác. VÒNG 2 Bài 1: Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$$ Bài 2: Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn: $2^x+11=19^y$ Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia $BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh rằng $AK=AL$ Bài 4: Cho tập hợp $A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8 phần tử. Bài 5: Cho $a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ thỏa mãn $x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$. 1. Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ. 2. Chứng minh rằng $x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với $lim(x_{n})=b$ Bài 6: Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn : $f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$ Bài 7: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng $CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$ Bài 8: Cho tập hợp $S=\begin{Bmatrix} 1,2,3,.......,2014 \end{Bmatrix}$. Hỏi có bao nhiêu hàm $f:S\rightarrow S$ thỏa mãn $f(n)\leqslant n \vee n\in S$
