ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH BẾN TRE NĂM 2009 Bài 1: (4đ) Cho tam giác $ABC$ chọn có các cạnh là $BC = a, CA = b, AB = c$. Trên các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt lấy các điểm $M, N, P$ theo thứ tự. 1. Tìm vị trí của $M, N, P$ sao cho chu vi tam giác $MNP$ nhỏ nhất. 2. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo $a, b, c$. Bài 2: (4đ) Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tổng bình phương là $3$. Chứng minh bất đẳng thức sau: $\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\leq 1$ Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 3: (3đ) Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix}(\sqrt{2})^{x}+(2\sqrt{2})^{y}=6\\xy=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.$ Bài 4: (4đ) Cho $S$ là tập hợp n số nguyên dương đầu tiên. Với mỗi tập con $A_{i}$ của S có i phần tử,$1\leq i\leq n$ mà các phần tử này xếp theo thứ tự: $x_{1}>x_{2}>x_{3}>...>x_{i};x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{i}\in A_{i}$, gọi $\varphi (A_{i})=\sum_{j=1}^{i}(-1)^{j+1}x_{j}$ được gọi là tổng đan dấu của $A_{i}$. Tính tổng tất cả các tổng đan dấu của $A_{i}$. Bài 5: (5đ) Với mỗi số nguyên dương n, xét bất phương trình sau: $\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{x-k}\geq \dfrac{3}{2}$. 1. Chứng minh tập nghiệm của BPT có dạng hợp của các nửa khoảng: $(i;x_{i}],x_{i}\in R,i=1,n$. 2. Tính giới hạn sau: $\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{i=1}^{n}\dfrac{x_{i}-i}{n^{2}}$ Bài 6: (3đ) Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng $AB$ cố định và điểm $C$ di động sao cho $A, B, C$ không thẳng hàng. Phía ngoài tam giác dựng hai hình vuông là $ACEM$ và $BCFN$. Chứng minh rằng: $MN$ luôn đi qua $1$ điểm cố định. Bài 7: (4đ) Tìm tất cả các hàm số $f(x):R\rightarrow R$ thỏa mãn đồng thời: i/ $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}=1$ ii/$f(x+y)=f(x)+f(y)+2x^{2}+3xy+2y^{2},\forall x,y\in R$ Bài 8: (4đ) Tìm công thức tổng quát của dãy số sau: $$ \left\{\begin{array}{l} u_{1}=1^{2}, u_{2}=2^{2}+4^{2}\\ u_{3}=3^{2}+5^{2}+7^{2} \end{array}\right. $$ Bài 9: (4đ) Cho tam giác $ABC$ có diện tích là $1$. Trên các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt lấy các điểm $D, E, F$ chia các đoạn tương ứng theo tỉ lệ $x$ ( $x$ là số thực bất kì khác $1$). Các đoạn thẳng $AD, BE, CF$ đôi một cắt nhau tạo thành tam giác $MNP$. 1. Tính diện tích tam giác $MNP$ theo $x$. Đặt biểu thức nhận được là $f(x)$. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $f(x)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Bài 10: (5đ) Cho đa giác đều $15$ cạnh nội tiếp đường tròn $(O)$. Nối $O$ với các đỉnh của đa giác chia nó thành $15$ tam giác. Tô màu các tam giác này bởi $5$ màu: đỏ, xanh, vàng, lục, lam sao cho hai tam giác kề nhau được tô khác màu. Tính số cách tô.
