ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH ĐĂK LĂK NĂM 2015 Bài 1 (4 điểm) Giải phương trình $:x^2-x-6=(2^x+1)\left ( 2^{\frac{x}{2}}+2 \right )\left ( \sqrt{x+1}-2 \right )$ Bài 2 (3 điểm) Cho $a,b,c\ge 0$.Chứng minh bất đẳng thức $(a+bc)^2+(b+ca)^2+(c+ab)^2\geq \sqrt{2}(a+b)(b+c)(c+a)$Tìm tất cả bộ số $\left ( a,b,c \right )$ để dấu đẳng thức xảy ra Bài 3 (3 điểm) Cho hai đa thức $\mathcal{P}(x),\mathcal{Q}(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$.Biết $x^2+x+1\mid x.\mathcal{P}(x^2+x)+\mathcal{Q}(x^3)$Chứng minh rằng $2015\mid \mathcal{P}(2014)+\mathcal{Q}(2016)$ Bài 4 (4 điểm) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ có $AB=AD=a$.Tiếp tuyến tại điểm $M$ của đường tròn $(A,a)$ cắt $BD$ tại điểm $S$,đường thẳng $SA$ cắt đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ tại hai điểm $A,N$.Gọi $E=BN\cap MD,F=BM\cap ND$.Chứng minh rằng $1)$ $\overline{M,N,C}$ $2)$ $MO\perp FE$ Bài 5 (3 điểm) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=16\\x_{n+2}=14x_{n+1}-x_n+2,\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}$ thì $x_n$ là số chính phương. Bài 6 (3 điểm) Tìm số nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$ của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2015\\x\ge 50 \\y\le 100 \\50\le z\le 100 \end{matrix}\right.$
