ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH ĐĂK LĂK NĂM 2016 Bài 1 (4 điểm): $1)$ Lập công thức tính $a^5+b^5$ theo $S=a+b$ và $P=ab$ $2)$ Giải phương trình $(x^5+10x^3+22x-4)^3+3x^5+22x^3+64x=2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}+12$ Bài 2 (4 điểm): $1)$ Cho ba số tự nhiền $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2=20c+2$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên chỉ toàn chữ số $1$ chia hết cho $ab$ $2)$ Cho dãy số $(u_n):\left\{\begin{matrix} u_1=10,u_2=19\\u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^2+u_n-1}{u_n} \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $u_n$ luôn là số nguyên Bài 3 (5 điểm): Cho đường tròn $(O,R)$ và đường thẳng $d$ không cắt nhau.Hạ $OH$ vuông góc với $d$.Một đường tròn $(E)$ thay đổi đi qua $H$ và có tâm thuộc $d$ sao cho $(E)$ cắt $(O)$ tại hai điểm $A,B$ $1)$ Chứng minh rằng:đường thẳng $AB$ đi qua một điểm $I$ cố định $2)$ Từ $H$ kẻ hai tiếp tuyến $HC,HD$ với đường tròn $(O)$ với $C,D$ là các tiếp tuyến.Gọi $M$ là trung điểm $CD$.Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $HM$ Bài 4 (4 điểm): $1)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ mà $abc=1$.Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\le 1$ $2)$ Tìm hàm $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $f(5x+y)=f(x)+f(2y)+4x-y\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$ Bài 5 (3 điểm): Cho $100$ chiếc thẻ có màu đỏ được đánh số thứ tự từ $1$ đến $100$ và $100$ chiếc thẻ có màu xanh cũng được đánh số thứ tự từ $1$ đến $100$.Rút ra một số thẻ sao cho: $\bullet$ Số thẻ được rút ra ít nhất là $1$ $\bullet$ Trong các thẻ được rút,không có hai thẻ nào cùng số $\bullet$ Trong các thẻ được rút,nếu có hai thẻ nào nhận hai số tự nhiên liên tiếp thì chúng phải khác màu Hỏi có bao nhiêu cách rút thẻ thỏa mãn đồng thời các điều trên? Bài 6 (2 điểm): Giải phương trình $x^2+x=2\sqrt[3]{(x^3-7)^2}+4\sqrt{x^3-7}$ Bài 7 (6 điểm): $1)$ Cho dãy số $(u_n):\left\{\begin{matrix} u_1=a>0\\u_n=n+\frac{n}{u_n},\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính $\lim \frac{u_n}{n}$ $2)$ Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x^3)+f(y^3)=(x^2-xy+y^2)\left ( f(x)+f(y) \right )\ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$ Bài 8 (3 điểm): Cho $\Delta ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$.$\Delta _A,\Delta _B,\Delta _C$ lần lượt là các phân giác ngoài các góc $A,B,C$.Một đường thẳng $d$ bất kì đi qua $I$.$d_A,d_B,d_C$ là các đường thẳng đối xứng với $d$ qua $\Delta _A,\Delta _B,\Delta _C$.Chứng minh rằng ba đường thẳng $d_A,d_B,d_C$ đồng quy. Bài 9 (6 điểm): $1)$ Cho $a,b,c$ thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng $$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$$ $2)$ Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn đẳng thức: $$3^a+5^b+7^c=6^d+3$$ Bài 10 (3 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên có $50$ chữ số,chia hết cho $9$,trong đó có đúng $10$ chữ số $9$ và giữa hai chữ số $9$ bất kì có ít nhất hai chữ số.
