ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2014 Câu 1 (5 điểm) Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n-\sqrt{u_n^2+1},n=1,2,3... \end{matrix}\right.$ Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim} \dfrac{2u_{n+1}^2+3u_n^2}{u_{n+1}^2+2u_{n-1}}$. Câu 2 (5 điểm) Cho phương trình $x^4+4x^3-2ax^2-12x+a^2=0\;\;(1)$ với tham số $a \in (1,3)$. 1) Chứng minh phương trình $(1)$ luôn có 4 nghiệm phân biệt. 2) Tính tổng $S=\sum_{i=1}^{4}\frac{2x_i^2+1}{(x_i^2-a)^2}$ theo $a$ với $x_1,x_2,x_3,x_4$ là bốn nghiệm của $(1)$. Câu 3 (5 điểm) Cho $n \geq 3$ là một số nguyên dương. Chứng minh với $n$ điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng, sao cho trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng thì số tam giác có đỉnh được lấy trong $n$ điểm đã cho và có diện tích bằng $1$ không lớn hơn $\dfrac{2}{3}(n^2-n)$. Câu 4 (5 điểm) Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai cát tuyến phân biệt $PAB,PCD$ sao cho $AC$ không song song $BD$. Gọi $E$ là giao của $AD,BC$. $F,G$ là trung điểm của $BD,AC$. $I$ đối xứng của $E$ qua $F$. 1) Chứng minh $PE,PI$ đẳng giác trong góc $APC$. 2) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$ tiếp xúc với $PE$. Câu 5 (7 điểm) Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định. $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ không cân và $A$ không trùng $B,C$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song $BC$ cắt $EF$ tại $K$. $N$ là giao của $ID,EF$. Chứng minh 1) Ba điểm $A,N,M$ thẳng hàng với $M$ là trung điểm $BC$. 2) Đường thẳng qua $I$ vuông góc $DK$ luôn đi qua một điểm cố định. Câu 6 (6 điểm) Cho $X,Y$ là hai tập khác rỗng rời nhau thỏa $X\cup Y=\left \{ 1,2,3...,10 \right \}$. Chứng minh tồn tại phần tử $a \in X$ và $b\in Y$ sao cho $a^3+ab^2+b^3$ chia hết cho $11$. Câu 7 (7 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên dương $x$ để $4x^n+(x+1)^2$ là số chính phương. Câu 8 (5 điểm) Giải phương trình : $$(5x-4)\sqrt{2x-3}-(4x-5)\sqrt{3x-2}=2$$ Câu 9 (5 điểm) Tìm tất cả các hàm số $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả : $$g\left [ g(x)-x^2+yz \right ]=g(x)\left [ g(x)-2x^2+2yz \right ]+z^2\left [ y^2-g(y) \right ]+y^2\left [ z^2-g(z) \right ]-2x^2yz+x+g(y)g(z)+x^4,\;\forall x,y,z\in \mathbb{R}$$ Câu 10 : (5 điểm) Một số tự nhiên được gọi là "số may mắn" nến tổng các chữ số của nó là $7$. Gọi $a_1,a_2,...,a_n,..$ là dãy tất cả các "số may mắn" được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Hỏi : 1. Số $2014$ là số hạng thứ mấy của dãy ? 2. Số hạng $a_{325}$ là số nào ? Câu 11 (5 điểm) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. $D$ đối xứng $B$ qua $A$ và $M$ là trung điểm $CD$. Đường tròn $(BDM)$ cắt $AC$ ở $E$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường tròn $(BCE)$ cắt $BM$ tại $F$ khác $B$. $BE,CF$ cắt nhau ở $I$. $BM,DI$ cắt nhau ở $K$. 1. Chứng minh $CM=MF$. 2. Chứng minh $I$ là tâm nội tiếp tam giác $BKC$.
