ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2008 VÒNG 1 Bài 1 : Giả sử đồ thị hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x+d$ cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ với $x_1<x_2<x_3$. Chứng minh $0<x_1<1<x_2<3<x_3<4$. Bài 2 : Giải phương trình $4\cot^6x+3(1-\dfrac{\cos 2x}{\sin^2x})^4=7$ Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Các tia đối của các tia $BA,DA,CB,CD$ cùng tiếp xúc với đường tròn $(I;r)$. Đặt $d=OI$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{(d+R)^2}+\dfrac{1}{(d-R)^2}$ Bài 4: Tìm tất cả các hàm $f:R\to R, g:R\to R$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau 1)$\forall x,y\in R$ thì $2f(x)-g(x)=f(y)-y$ 2) $\forall x\in R$ thì $f(x).g(x)\geq x+1$ Bài 5 : Dãy số $(x_n)$ với $n=1,2,3,...$ được xác định bởi $x_1=3, x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n^2-x_n+2 \forall n\in N*$ Tìm giới hạn của dãy $(S_n)$ với $S_n=\sum^n_{i=1}\dfrac{1}{x_i}$ VÒNG 2 Bài 1: 1) Giải phương trình $x^2-10[x]+9=0$ 2) Giải bất phương trình$ \sqrt{x^3-x^2+x-1}<\sqrt{5}+\sqrt{-x+8}$ Bài 2: Cho dãy $(x_n)^\infty_{n=1}$ biết $x_1=\dfrac{-1}{2},x_{n+1}=\dfrac{x_n^2-1}{2}$ với mọi $n=1,2,3,...$ Tìm giới hạn của dãy $(x_n)^\infty_{n=1}$ khi $n\to\infty$ Bai 3: Cho hàm $f:N\to N$ thoả mãn tính chất $f(f(n))+f(n)=2n+3\forall n\in N$ Tình $f(2008)$ Bài 4: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$. Đường thẳng $d$ cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$ 1) Chứng minh rằng đường thẳng $d$ đi qua $I$ khi và chỉ khi $\dfrac{AB+BC+CA}{AB.AC}=\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{AN}$ 2) $K$ là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $K$ thuộc cung $BC$ không chứa điểm $A $ ($K$ khác $B,C$). Các tia phân giác của các góc $\hat{BKA},\hat{CKA}$ cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$. Chứng minh rằng $DE$ luôn luôn đi qua $I$ khi $K$ thay đổi Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=13\sin x+9\sqrt{\cos^2x-4\cos x+3}$ với $x\in[0;\pi]$ Bài 6: Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh đa thức sau bất khả quy trên $Z[x]$ $x^{p-1}+2x^{p-2}+3x^{p-3}+.....+(p-1)x+p$
