ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2015 Bài 1 ( 5 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_1=1;x_{n+1}=3+\frac{5}{x_n}$ với $n=1;2...$ Tìm số thực dương $a$ sao cho dãy số $(y_n)$ xác định bởi: $y_n=\frac{a^n}{x_1.x_2...x_n}$ với $n=1;2...$Có giới hạn hữu hạn và $\mathbb{lim} y_n\neq 0$ Bài 2 ( 5 điểm ). Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp $(O)$ có đường cao $AH$ và tâm đường tròn nội tiếp là $I$.Gọi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ của $(O)$.$D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$. Đường thẳng $MD$ cắt đường thẳng $BC$ ,$AH$ theo thứ tự tại các điểm $P$,$Q$. a. Chứng minh tam giác $IPQ$ vuông b. Đường thẳng $DI$ cắt $(O)$ tại điểm $E$ khác $D$.Hai đường thẳng $AE$ và $BC$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh nếu $AB+AC=2BC$ thì $I$ là trọng tâm của tam giác $APF$ Bài 3 ( 5 điểm). Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn điều kiện: $(P(x))^3-3(P(x))^2=P(x^3)-3P(-x) \forall x\in \mathbb{R}$ Bài 4 ( 5 điểm). Xác định tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn tính chất tồn tại một cách chia hình vuông có độ dài cạnh là $n$ thành đúng năm hình chữ nhật sao cho độ dài các cạnh của năm hình chữ nhật đó là các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$
