ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2008 VÒNG 1 Câu 1 (2 điểm) a) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số $y=(\dfrac{1}{3}x+m)^3-x+2$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 2 b) Cho hàm số $y=2cos^2 x+2sinxcosx +mx$ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị . Câu 2 (2,5 điểm ) a) Cho đa thức $P(x)=C^1 _{2009} +2C^2 _{2009} (2x) +3C^3 _{2009} (2x)^2 +...+2009C^{2009} _{2009} (2x)^{2008}$ Tính tổng các hệ số bậc lẻ của đa thức đã cho . b) Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l}5^x=2y+1+2log_5 (4y+1)\\5^y=2z+1+2log_5 (4z+1)\\5^z=2x+1+2log_5 (4x+1)\end{array}\right.$$ Câu 3 (2 điểm ) a) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=a ,CD=b$ ; góc $(AB,CD)=\alpha$,khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng $d$. Tính thể tích của khối tứ diện $ABCD$ theo $a,b,d$ và $\alpha$ b) Trong các tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và thể tích bằng $36$,hãy xác định tứ diện sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất. Câu 4 (2,5 điểm ) a) Chứng minh $\forall x\in R$ thì $e^x \geq 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}$ b) Tìm $a>0$ sao cho $a^x \geq 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}$ với mọi giá trị của $x$. c) Cho $x,y,z$ là các số dương và thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=9\\x \geq 5;x+y \geq 8\end{array}\right. $ Chứng minh rằng $xyz \leq 15$ Câu 5 ( 1 điểm ) Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ cạnh bằng 1. Lấy các điểm $M,N,P,Q,R,S$ lần lượt thuộc các cạnh $AD,AB,BB_1,B_1C_1,C_1D_1,DD_1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường gấp khúc khép kín $MNPQRSM$ VÒNG 2 Câu 1 (4 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:R ->R$ thỏa mãn điều kiện $f(x-f(y))=f(x+y^{2008})+f(f(y)+y^{2008})+1 \forall x,y\in R$ Câu 2 (4 điểm) Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn :$x_1 \in R ; x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{2}(cosx_n+sinx_n) ( \forall n \in N*)$. Tìm giới hạn của dãy (nếu có ) tùy theo $x_1$ Câu 3 (3 điểm) Cho tứ giác lồi$ ABCD$ .Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của một điểm $O$ trong tứ giác xuống các cạnh $AD,AB,BC,CD$ ; mặt khác $M,N,P,Q$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $I$ bán kính $R$. Kẻ $Ax,By,Cz,Dt$ lần lượt vuông góc với các đường thẳng $MN,NP,PQ,QM$.Chứng minh rằng $Ax,By,Cz,Dt$ đồng qui tại một điểm. Câu 4 (3 điểm) Cho $p$ là số nguyên tố không nhỏ hơn $5$ .Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên tố $q_1,q_2$ sao cho $1<q_1<q_2<p$ đồng thời $q_1 ^{p-1} -1 ; q_2 ^{p-1} -1$ không chia hết cho $p^2$. Câu 5 ( 3 điểm) Tìm $\alpha >0$ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $n \in N*$ : $$1.2^\alpha + 2.3^\alpha +...+ n(n+1)^\alpha \geq 2.1^\alpha +3.2^\alpha+...+(n+1)n^\alpha$$ Câu 6 (3 điểm) Cho $a,b$ và $c$ là các số thực dương sao cho $a+b+c=3$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{a^2}{a+2b^3}+\dfrac{b^2}{b+2c^3}+\dfrac{c^2}{c+2a^3}$$
