ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH HẢI PHÒNG NĂM 2009 Bài 1: Tìm các đa thức $P(x,y)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x,y)=P(x+y,y-x) \ \forall x,y\in R$. Bài 2: Chứng minh rằng: $|{12^m-5^n}|\geq 7\ \forall m,n \in N^*$. Bài 3: Cho $KL$ và $KN$ là các tiếp tuyến của đường tròn $C$, với $L, N \in C$. Lấy M bất kỳ trên đường thẳng $KN$ ($M, K$ khác phía so với $N$). Giả sử C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $KLM$ tại điểm thứ $2$ là $P. Q$ là chân đường vuông góc hạ từ $N$ xuống $ML$. Chứng minh rằng: $\angle {MPQ}=2\angle {KML}$. Bài 4: Cho dãy số: $a_1=a_2=12\sqrt2,a_{n+1}=-a_n\sqrt{a_{n-1}^2+1}+a_{n-1}\sqrt{a_n^2+1}\ \forall n\geq2$. Chứng minh rằng: $\sqrt{2+2\sqrt{a_n^2+1}}\in $N$ \ \forall n\geq1$. Bài 5: Chứng minh rằng: Có thể tô màu mỗi phần tử của tập $\{1;2;3;...;2009\}$ bằng một trong hai màu đen trắng sao cho mọi cấp số cộng công sai khác $0$ gồm $18$ phần tử của $A$ đều được tô bởi đủ cả $2$ màu.
