ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH KON TUM NĂM 2016 Câu 1: $1)$ Tính giới hạn : $$lim \frac{2016n \text{ cos } (2017n)}{n^{2}+2017}$$ $2)$ Giải phương trình : $$x-2\sqrt{x-2}-(x-2)\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{2}-3x+2}=1$$ Câu 2: $1)$ Để đặt mật mã cho két sắt của mình , một người đã chọn một bộ số có thứ tự gồm $7$ chữ số kí hiệu là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}}$ trong đó $a_{i} \in \left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}$ với $i = \overline{1,7}$ . Để có mật mã dễ mở người ấy đã chọn các chữ số sao cho ba số $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}},\overline{a_{4}a_{5}a_{6}},\overline{a_{5}a_{6}a_{7}}$ giống nhau . Hỏi người ấy có bao nhiêu cách chọn mật mã ? $2)$ Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn điều kiện : $$x^{2}-10xy+29y^{2}=100$$ Câu 3: $1)$ Xác định các góc tam giác $ABC$ biết $A + B = 120$ và $1 - 4sin^{2}\frac{B}{2}=\frac{b+c}{a+c}$ $2)$ Cho tam giác $ABC$ nhọn có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp . Lấy điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AI$ sao cho từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CI$ cắt đoạn thẳng $BI$ tại $N$ , từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BI$ cắt đoạn $CI$ tại $P$ . Đường trung trực của hai đoạn thẳng $BN,CP$ cắt nhau tại $D$ , đường trung trực của hai đoạn thẳng $CP,AM$ cắt nhau tại $E$ , đường trung trực của hai đoạn thẳng $BN,AM$ cắt nhau tại $F$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Chứng minh rằng $O$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ Câu 4: $1)$ Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1}=672$ và : $$u_{n+1}=\frac{2016u_{n}}{(2n+3)u_{n}+2016}$$ với mọi $n \in N$ Tìm $u_{2016}$ $2)$ Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$M = \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}+\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}$$
