ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH LẠNG SƠN NĂM 2016 Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm max của bt: $P=\sum\frac{1}{x^2+2y^2+3}$ Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ đơn điệu trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x^3+f(y))=f^3(x)+y$ $\forall x,y\in\mathbb{R}$ Bài 3: Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $I$ là tâm nội tiếp tam giác. Đường tròn đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ cắt $AC$ tại $E$ và cắt $(O)$ tại $H$ $(E,H\neq C)$ $a)$ CMR: $EH$ đi qua trung điểm của $AI$ $b)$ Đường tròn đi qua $B$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ cắt $AB$ tại $F$ và cắt $(O)$ tại $G$ $(G,F\neq B)$. CMR: $2$ đường tròn $(EIF)$ và $(GIH)$ tiếp xúc nhau Bài 4: Cho đa thức $P(x)=4x^3-18x^2+27x+m$. CMR: Với mỗi $m\in\mathbb{Z}$, $\exists n\in\mathbb{Z}$ sao cho $P(n)\vdots 107$ Bài 5: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} & u_{1}=-\frac{1}{3} & \\ & u_{n+1}+1=\frac{u_{n}+1}{\sqrt{u_{n}^2+1}} & \end{matrix}\right.$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$ $a)$ CMR: $u_{n+1}+1<\frac{3(u_{n}+1)}{\sqrt{10}}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$ $b)$ CMR: Dãy $(u_{n})$ hội tụ. Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty} u_{n}$ Bài 6: Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau ttai5 $H$ $(D\in BC,E\in CA,F\in AB)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $2$ đường tròn $(DEF)$ và $(HBC)$ cắt nhau tại $X$ và $Y$ $a)$ CMR: $AX=AY$ $b)$ Gọi $R$ là trung điểm của $XY$. $AR$ cắt $HM$ tại $S$. CMR: Tứ giác $HDSR$ nội tiếp Bài 7: Cho tập $M_{n}=$ {$1;2;...;n$} $(n\in\mathbb{N^{*}})$ $a)$ Gọi $X$ là $1$ tập con của $M_{15}$ sao cho tích của $3$ ptử bất kỳ của $X$ ko phải số chính phương. Tìm max $\mid X\mid$ $b)$ Gọi $Y$ là $1$ tập con gồm có $15$ ptử của tập $M_{25}$. Tập $I'$ gọi là tập "tốt" nếu như ko tồn tại $2$ ptử nào mà tích của chúng là số chính phương. Tính số tất cả các tập "tốt".
