ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH LÀO CAI NĂM 2016 Câu 1. Giải hệ phương trình: $\begin{cases}(x + 1)\sqrt{y^{2} + y + 2} + (y - 1)\sqrt{x^{2} + x + 1} = x + y \\ (x^{2} + x)\sqrt{x - y + 3} = 2x^{2} + x + y + 1\end{cases}$ Câu 2. Cho dãy số thực $(x_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}x_{1} = \dfrac{5}{2} \\ x_{n + 1} = \sqrt{x_{n}^{2} - 12x_{n} + \dfrac{20n + 21}{n + 1}}\end{cases}$, $\forall n \ge 1$. Chứng minh rằng dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 3. Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AH$, trực tâm $K$. Đường thẳng $BK$ cắt $(AC)$ tại $D, E$ ($BD < BE$). Đường thẳng $CK$ cắt $(AB)$ tại $F, G$ ($CF < CG$). Và $(DHF)$ cắt $BC$ tại điểm thứ hai là $P$. Chứng minh rằng các điểm $G, H, P, E$ cùng thuộc một đường tròn Chứng minh rằng các đường thẳng $BF, CD, PK$ đồng quy. Câu 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa $9x^{2} + 24x + 15 = y^{3}$. Câu 5. Một số nguyên dương $k$ được gọi là 'đẹp' nếu có thể phân hoạch tập các số nguyên dương $\mathbb{Z}^{*}$ thành $k$ tập hợp $A_{i}, \quad i = \overline{1, k}$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n \ge 15$ và với mọi $i \in \{1, 2, \cdots , k\}$ đều tồn tại hai số thuộc tập $A_{i}$ tương ứng có tổng bằng $n$. Chứng minh rằng $k = 3$ là 'đẹp'. Chứng minh rằng mọi $k \ge 4$ đều không 'đẹp'.
