ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH NINH BÌNH NĂM 2016 Bài 1: Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} & y^3+4x^2y+3xy^2=x^6+3x^5+4x^4 & \\ & \sqrt{x^2+3}+\sqrt{3y+1}=4 &\end{matrix}\right.$ Bài 2: Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi hệ thức: $\left\{\begin{matrix} & x_{1}=1 & \\ & x_{n+1}=\sqrt{x_{n}(x_{n}+1)(x_{n}+2)(x_{n}+3)+1} & \end{matrix}\right.$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$ Đặt $y_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}+2}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$. Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty} y_{n}$ Bài 3: Cho $\triangle ABC$. Đường tròn $(O)$ đi qua $A$ và $C$ cắt các cạnh $AB,BC$ tại $K,N$. Đường tròn $(KBN)$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $B$ và $M$. Tính $\angle BMO$ Bài 4: Tìm $k_{max}\in\mathbb{N^{*}}$ sao cho ta có thể phân hoạch tập hợp các số nguyên dương thành $k$ tập hợp $A_{1},A_{2},...,A_{k}$ thỏa mãn với mỗi $n\in\mathbb{N^{*}}, n>14$, trog mỗi tập $A_{i}$ $i=\overline{1,k}$ đều tồn tại $2$ số có tổng bằng $n$ Bài 5: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\sum x=3$. CMR: $\sum\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq 4\sum\frac{1}{x+7}$ Bài 6: CMR: Với mỗi số $m\in\mathbb{N^{*}}$, luôn tồn tại vô số số $n\in\mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn $(3.2^n+n)\vdots m$ Bài 7: Cho $\triangle ABC$ và điểm $(O)$ nằm trog $\triangle ABC$ Đường thẳng $d_{1}$ đi qua $O$ song song với $BC$ lần lượt cắt $AB,AC$ tại $J,G$. Đường thẳng $d_{2}$ đi qua $O$ song song với $CA$ lần lượt cắt $BC,CA$ tại $F,J$. Đường thẳng $d_{3}$ đi qua $O$ song song với $AB$ lần lượt cắt $CA,CB$ tại $H,E$. Dựng các hbh $OEA_{1}F,OGB_{1}H,OIC_{1}J$. CMR: Các đường thẳng $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ đồng quy Bài 8: Cho hàm số $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow\mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn các điều kiện sau: $1)$ $f(m)<f(n)$ $\forall m,n\in\mathbb{N^{*}}; m<n$ $2)$ $f(mn)=f(m)f(n)$ $\forall m,n\in\mathbb{N^{*}}; (m,n)=1$ $3)$ $\exists i\in\mathbb{N^{*}}, i>1$ sao cho $f(i)=i$ $a)$ CMR: $f(1)=1$ , $f(3)=3$ $b)$ Tìm tất cả các hàm $f(n)$ thỏa mãn yêu cầu bt
