ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH PHÚ THỌ NĂM 2014 Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$ Tính giới hạn : $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$ Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn $2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right )$ với mọi số thực $x$ Câu 3 : Cho $3$ điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm. Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định. Câu 4: Trong một kỳ thi có $30$ thí sinh và $5$ giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ, số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k \geq 12$ Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của : $$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$$ Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$ Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong $2$ màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng $1$ hàng và hai ô cuối cùng $1$ cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của $T$
