ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2015 Bài 1: Giải hệ : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left (1+\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=2\\ \sqrt{7y}\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$ Bài 2: Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_1=2\\ x_{n+1}=\displaystyle{\frac{x_n^4+2014x_n+1}{x_n^3-x_n+2016}} \end{matrix}\right.$ a) Chứng minh $\lim x_n=+\infty $ b) Với $\forall~n\in \mathbb{N^*}$, đặt $y_n=\sum _{k=1}^n \frac{1}{x_k^3+2015}$, tìm $\lim y_n$ Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC$ nội tiếp trong đường tròn $(\omega )$ tâm O bán kính R, đường tròn $(\omega_1)$ tâm $I_A$ bán kính $R_A$ tiếp xúc với đường tròn $(\omega )$ tại T và với cạnh AB, AC tại E,F. Phân giác $\widehat{BAC}$ cắt $(\omega )$ tại $M\neq A$, BC cắt EF ở X. a) Tính $\frac{CF}{CT}$ theo $R$ và $R_A$ b) Chứng minh $\overline{M,X,T}$ Bài 4: Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn : i) $f(x)+x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$ ii) $f(f(x)+x)=6x$ iii) $f(1)=2$ Bài 5: Cho $3$ số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a,b,c\in[-1;1]$ và $abc$ khác 0 thỏa mãn $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$ Tìm giá trị lớn nhất của $T=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ Bài 6: Trên một đường tròn cho $2015$ điểm phân biệt. Cứ qua $2$ điểm ta kẻ một dây cung và tô nó bằng một trong $3$ màu xanh, đỏ, vàng. Một tam giác (có $3$ cạnh là các dây cung nói trên) gọi là "tam giác đẹp" nếu $3$ cạnh của nó được tô cùng một màu. Chứng minh rằng với mọi cách tô màu, tồn tại ít nhất $40$ "tam giác đẹp" cùng màu. Bài 7: Cho tam giác $ABC$ (với $AB<AC$). Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với các tia $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$ và tiếp xúc ngoài với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn bàng tiếp cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ thuộc đoạn $MN$.
