ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH THÁI BÌNH NĂM 2014 Câu 1 : 1) Giải hệ phương trình trên tập số thực : $$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\\ 2014^{x+y-1}-3x+y+1=\sqrt{4x^2-3x-y+2} \end{matrix}\right.$$ 2) Tìm tất cả các hàm số $f \, : \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện : $$f(x^2+f(y))=y+((f(x))^2\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$ Câu 2 : Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau : $x_1=1,x_2=2013,x_{n+2}=4026x_{n+1}-x_n\,\,\,\, , n=1,2,...$ Chứng minh rằng $\frac{x_{2014}+1}{2014}$ là số chính phương. Câu 3 : Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$), và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Trên cạnh AC lấy D sao cho $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IDC$ tại $E$. Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$, $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$. Đường thẳng $JP$ cắt $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $QF=QJ$. Câu 4 : Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $S_{n}=\{1;2;...;n\}$. Phần tử $j$ của $S_n$ được gọi là điểm bất động của song ánh $p \, : \, S_n\to S_n $ nếu $p(j)=j$. Gọi $f(n)$ là số song ánh từ $S_{n}$ đến $S_{n}$ mà không có điểm bất động nào, $g(n)$ là số song ánh từ $S_{n}$ đến $S_{n}$ mà có đúng 1 điểm bất động. Chứng minh rằng : $$|f(n)-g(n)|=1\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$ Câu 5 : 1) Chứng minh rằng với mọi $a;b;c>0$ ta có $$\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(a+c)}{(a+c)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5}$$ 2) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n\geq 3$, phương trình sau $$x^ne^{-x}=1\,\, , \,\,n\in\mathbb{N},n>2$$ Có 1 nghiệm duy nhất $x_{n}$ trên đoạn $[0;n]$. Tìm $\text{lim} \, x_n$. Câu 6 : Cho $p$ là 1 số nguyên tố lẻ, đặt $m=\frac{9^{p}-1}{8}$. Chứng minh rằng $m$ là 1 hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1\pmod{m}$ Câu 7 : Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. Gọi $AD$ là đường cao đỉnh $A$. Gọi $(k_1)$ là đường tròn qua $B,D$ và tiếp xúc với $AB$ ở $B$,$(k_2)$ là đường tròn qua $C,D$ và tiếp xúc với $AC$ ở $C$. Giả sử $(k_1)$ cắt $(k_2)$ tại $M$. $MD$ giao $(O)$ tại $T$.$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng 1) $ATCB$ là hình thang cân. 2) $G,M,D$ thẳng hàng. Câu 8 : Cho một khối lập phương $10×10× 10$ gồm $1000$ ô vuông đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. Bình thì chọn một số dải $1× 1× 10$ sao cho với hai dải bất kì thì không có chung đỉnh hoặc cạnh và đổi tất cả các ô sang màu đen. An thì được chọn một ô bất kì và hỏi Bình là màu gì. Hỏi An phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để với mọi câu trả lời của Bình luôn xác định được những ô nào màu đen.
