ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TP. HÀ NỘI NĂM 2012 Bài I (4điểm) 1, Chứng minh rằng các số $3,3^2,3^3,....,3^{41}$ khi chia cho $83$ được $41$ số dư khác nhau. 2, Cho $a,b,c$ là các hằng số dương .Giải HPT sau: $$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2 & & \\ by+cz=(y-z)^2 & &\\ cz+ax=(z-x)^2 & & \end{matrix}\right.$$ Bài II (4điểm) Cho 3 số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$.Tìm GTLN của biểu thức. $$P=(3-a)(3-b)(3-c)(\dfrac{1}{b^2c^2}+\dfrac{1}{c^2a^2}+\dfrac{1}{a^2b^2})$$ Bài III (4điểm) Cho dãy số $x_{1}=20,x_{2}=30,x_{n+2}=3x_{n+1}-x_{n}$, với $n\in N,n \geq 1$.Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $5x_{n+1}.x_{n}+1$ là số chính phương. Bài IV (4điểm) Cho tứ giác $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song và nội tiếp đường tròn tâm $O$ .Gọi $E,F,I$ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$ , $AD$ và $BC$, $AC$ và $BD$ .Đường phân giác của các góc $\widehat{AED} $ và $ \widehat{AFB}$ cắt nhau tại $H$ .Gọi $K$ là điểm chung thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABI$ và đường tròn ngoại tiếp ta giác $CDI$ .Chứng minh $4$ điểm $E,F,H,K$ nằm trên một đường tròn. Bài V (4điểm) Xác định hàm số liên tục $f:R_{+}^{*}\rightarrow R_{+}^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1, $f(2x)=2f(x)$ 2, $f\left ((f(x))^3(e^{f(x)}-1) \right )=x^2(e^x-1)f(x)$, $\forall x \in R_{+}^{*} $ 3, $f(e-1)=(e-1)f(1)$ 4, $f(k)$ là số nguyên dương với mọi số nguyên $k$ ($R_{+}^{*}$ là tập các số thực dương)
