ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TP.HCM NĂM 2008 Bài 1: Giài hệ phương trình: $$ \begin{cases} & 2(x^3 - y^3) - x(x+1)(x-2) =1 \\ & 2(y^3 - z^3) - y(y+1)(y-2) =1 \\ & 2(z^3 -x^3) - z(z+1)(z-2) =1 \end{cases} $$ Bài 2: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa : $\ a+b+c\geq\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ CMR:: $\ a+b+c\geq \dfrac{3}{a+b+c} + \dfrac{2}{abc} $ Bài 3:Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. $D$ là điểm di động trên cạnh $AC$. Đường tròn $(O)$ đường kính $BD$ cắt $BC$ tại điểm thứ hai là $P$. Đường cao vẽ từ $A$ cùa tam giác $ABD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Gọi $F$ là giao điểm của $CE$ và $DP$. $I$ là giao điểm của $AF$ và $DE$. Đường thẳng qua $I$ song song $DP$ cắt đường trung trực $AI$ tại $M$. CMR: $M$ di động trên 1 đường cố định khi $D$ di động trên $AC$. Bài 4: Cho tứ diện $ABCD$ nội tiếp mặt cầu tâm $O$. MẶt phẳng $(Q)$ vuộng góc $OA$, cắt $AB,AC,AD$ tại $M,N,P$. CMR: $B,C,D,M,N,P$ cùng thuộc 1 mặt cầu. Bài 5:Tìm tất cả các hàm $f: R \to R$ thoả: $f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1$ , với $\forall x,y$ thuộc $R$ Bài 6: Cho số thực x,y,z thỏa : $\begin{cases} & x\ge y \ge z \ge 1 \\ & 2y + 3z \ge 6 \\ & 11x+27z \ge 54\end{cases}$ Tìm giá trị lớn nhất P(x,y,z)= $\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2008}{y^2} + \dfrac{2009}{z^2}$ Bài 7: Cho đa thức $P_k (x) =1 - x + x^2 - x^3 + ... + (-1)^{k-1} x^{k-1}$ , k nguyên dương c/m: $\sum_{k=1}^n C_n^k P_k (x)= 2^{n-1} P_n (\dfrac{x-1}{2} )$
