NĂM 1992 Bài 1: Cho các số thực $\lambda$là nghiệm phức của phương trình $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$sao cho $\lambda^{n+1}=1$. Bài 2: $x_1,x_2,...,x_n$là các số thực không âm và $a$là số nhỏ nhất trong các số này.Chứng minh rằng $x_{n+1}=x_1$.Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 3: Tại thời điểm $t=0$,một số $1$hoặc một số $-1$được viết vào mỗi ô đơn vị của bảng $t=k+1$,mỗi hình vuông đơn vị được viết số bằng tích của các số trong ô lân cận(các ô có chung cạnh với ô đó) ở thời điểm $t=k$.Hỏi có phải luôn luôn đến một thời điểm nào đó tất cả các ô đơn vị đều mang số $1$? Bài 4: Các đường chéo của tứ giác nội tiếp $ABCD$gặp nhau tại $X$.Đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ABX,CDX$gặp nhau tại $X,Y$.$O$là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$và $O,X,Y$là phân biệt.Chứng minh rằng $8$đỉnh và không có hình vuông(hình vuông là bốn điểm $A,B,C,D$với $A,C$cả hai kề với $B,D$).Hỏi nó có thể có nhiều nhất bao nhiêu cạnh? Bài 5: $a_2=2a_1-a_0+2,a_{n+1}=3a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}(n>1)$.Biết rằng với mỗi số nguyên dương $m$trong dãy $(a_i)$có $m$số hạng liên tiếp là số chính phương.Chứng minh rằng tất cả số hạng của dãy $(a_i)$là số chính phương.
NĂM 1993 Bài 1: $n$ là số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng tồn tại $2n$ số nguyên $a_i,b_i,i=\overline{1,n}$ sao cho với mỗi số nguyên dương $k$ nhỏ hơn $n$,$3n$ số nguyên sau là phân biệt modulo $3n$:$a_i+a_{i+1},a_i+b_i,a_i+b_{i+k},i=\overline{1,n}$, ở đó các chỉ số mở rộng theo modulo $n$. Bài 2: $n$là số nguyên dương,$a$ là số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của $a^{k(1)}+a^{k(2)}+...+a^{k(s)}$, ở đây $s$ là số nguyên dương không lớn hơn $n$ và $k(i),i=\overline{1,s}$ là các số nguyên dương có tổng bằng $n$. Bài 3: $ABCD$là tứ giác nội tiếp đường tròn $(O;r)$. Lấy một đường tròn $(O;R)(R>r)$. Kéo dài $AB,BC,CD,DA$ tới gặp đường tròn bên ngoài tại $A_1,B_1,C_1,D_1$. Chứng minh rằng $S$ là tập $1993$ số phức khác $0$. Chứng minh rằng có thể phân hoạch $S$ thành các tập $S_1,S_2,...$sao cho nếu $f(S_i)$ là tổng các số thuộc $S_i$ thì : a) Với mỗi $f(S_i)$ và $f(S_j)$ trương một góc tù tại gốc tọa độ. b) Nếu $z$và $f(S_i)$ trương một góc không tù tại gốc tọa độ. Bài 5: $S=\{1,2,3,...,30\}$.$A_i,i=\overline{1,10}$là các tập con của $S$,mỗi tập có $3$ phần tử và $n_i$. Bài 6: $n$ và số thực dương $x$ ta có $f(x^{n})\leq \lim_{i=1}^{n} f(x^i)^{\dfrac{1}{i}}$.
NĂM 1998 Bài 1: Cho tam giác $ABC$ không tù có $\hat{B}=45^0$. Gọi $O$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại và nội tiếp của tam giác $ABC$. Giả sử: $\sqrt{2}OI=AB-AC$ .Tính giá trị của $sinA$ Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương $n>1$ biết rằng tồn tại 2n số nguyên dương phân biệt $a_1;a_2;...;a_n;b_1;b_2;...;b_n$ thỏa mãn: 1) $a_1+a_2+...+a_n=b_1+b_2+...+b_n$ 2) $n-1>\sum\lim_{i=1}^{n}\dfrac{a_i-b_i}{a_i+b_i}>n-1-\dfrac{1}{1998}$ Bài 3: Kí hiệu $|A|$ là số phần tử của tập $A$. $(a;b)$ là ước chung lớn nhất của $2$ số nguyên dương $a;b$. Cho $S=\{1;2;...;98\}$. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn với mọi tập con $T$ của $S$ mà $|T|=n$ thì luôn tồn tại $|T_{10}|=10$ có thể chia $i=2;3;4;5$ thì $n>2$ thỏa mãn $1+(_1^n)+(_2^n)+(_3^n)|2^{2000}$ Bài 5: Cho $D$ là điểm nằm ở miền trong tam giác nhọn $ABC$ thỏa mãn $DA.DB.AB+DB.DC.BC+DC.DA.CA=AB.BC.CA$. Hãy tìm vị trí hình học của $D$ Bài 6: Cho số nguyên dương $\sum\lim_{i=1}^{n}x_i^2+\sum\lim_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}=1$. Với mỗi số nguyên dương $k$ mà $|x_k|$
NĂM 2003 Bài 1: $ABC$ là tam giác nhọn với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $H$ là trực tâm của nó. $BB_1,CC_1$là các trung tuyến, $(BHC)$ là $O'$. Chứng minh rằng $A,I,O'$thẳng hàng khi và chỉ khi $S[BKB_2] = S[CKC_2]$. Bài 2: $a,b$và tồn tại $(d,a)>1,(d,b)>1$.Tìm giá trị lớn nhất của $|S|$. Bài 3: Cho số nguyên dương $n$, tìm số thực dương nhỏ nhất $\lambda$, sao cho với mỗi $\theta_i\in(0,\dfrac{\pi}{2})(i=1,2,\ldots,n)$,nếu $\tan\theta_1\tan\theta_2\cdots\tan\theta_n=2^{\dfrac{n}{2}}$, thì ta phải có $\cos\theta_1+\cos\theta_2+\cdots+\cos\theta_n\leq\lambda$. Bài 4: Tìm tất cả các bộ ba $(d,m,n)$ các số nguyên dương sao cho $d>1,m>1$ và $d^m+1|d^n+203$. Bài 5: Có $10$ ứng viên xin một việc,đánh số bởi $1,2,...,10$. Sự thích hợp đối với công việc của họ được xếp theo thứ tự này ($1$thích hợp hơn $2$,...). Nhưng năng lực của một ứng viên chỉ được đánh giá khi phỏng vấn họ. Họ được phỏng vấn theo thứ tự $a_1,a_2,...,a_{10}$. Ba cuộc phỏng vấn đầu tiên được loại bỏ. Sau đó nếu một ứng viên thích hợp hơn tất cả các ứng viên truớc thì ứng viên đó được nhận (không phỏng vấn các ứng viên khác). Nếu chín ứng viên đầu không được nhận thì ứng viên cuối cùng sẽ được nhận. Gọi $n_i$là số hoán vị $a_1,a_2,...,a_{10}$ sao cho $i$ được nhận. a) Chứng minh rằng $n_1>n_2>...>n_8=n_9=n_{10}$. b) Chứng minh rằng $\dfrac{n_1+n_2+n_3}{10!}>70\%$ và $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+cd=1$ và bốn điểm $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$ nằm trên đường tròn $x^2+y^2=1$. Chứng minh rằng $(ay_1+by_2+cy_3+dy_4)^2+(ax_4+bx_3+cx_2+dx_1)^2\leq 2(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{c})$.
