ĐỀ THI CHỌN HSG GẶP GỠ TOÁN HỌC NĂM 2014 Bài 1. Cho $a<b<c$ là là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$. Hãy tính $A= \frac{1-a}{a+1}+ \frac{1-b}{b+1}+ \frac{1-c}{c+1}$; Lập phương trình bậc 3 có ba nghiệm $a^2-2,b^2-2,c^2-2$; Chứng minh rằng $a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$. Bài 2. Xét hai dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ thoả mãn $a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, \forall n \ge 1$ và $b_1=1,b_2=3,b_{n+2}=b_{n+1}+b_n, \forall n \ge 1$. Chứng minh rằng $b_n-5a_n^2=4(-1)^n$ với mọi $n$ nguyên dương. Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho phương trình $a_nx+b_ny=2015$ có nghiệm nguyên $(x,y)$. Bài 3. Cho đoạn thẳng $BC$ và điểm $A$ di chuyển trên đường tròn $\omega$ đường kính $BC$ sao cho $\angle ABC< \angle ACB$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$ và $E$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$, $F$ là trung điểm $AE$ và $BF$ cắt $\omega$ tại điểm thứ hai là $G$. Tiếp tuyến tại $A$ với $\omega$ cắt $BC$ tại $T$. Chứng minh $BC$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFG$. Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AFG$ và $ATG$. Chứng minh rằng đường thẳng $O_1O_2$ đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi. Bài 4. Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho với mọi tập hợp $S$ gồm $2015$ số nguyên phân biệt thì luôn tồn tại hai tập con khác nhau (không nhất thiết phải rời nhau) của $S$ mà mỗi tập có tổng các phần tử chia hết cho $n$. Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thoả mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$. Bài 6. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ thoả mãn đồng thời các điều kiện: $f(f(n))=4n+3$ với mọi $n$ nguyên; $f(f(n)-n)=2n+3$ với mọi $n$ nguyên. Bài 7. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $D$ bất kì thuộc cạnh $BC$. Đường tròn $(ODC)$ cắt cạnh $AC$ tại $E$, $(ODB)$ cắt cạnh $AB$ tại $F$. Điểm $M$ bất kì thuộc tia đối tia $DO$. Đường tròn $(MDE)$ cắt cạnh $OE$ tại $N$, $(MDF)$ cắt cạnh $OF$ tại $P$. Gọi $XYZ$ là tam giác tạo bởi ba đường trung trực các đoạn $DM,EN,FP$. Chứng minh rằng $O$ là trực tâm tam giác $DEF$;[/*] Chứng minh rằng hai đường tròn $(MNP)$ và $(XYZ)$ đồng tâm. Bài 8. Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: Các số hạng của dãy số đôi một khác nhau; $a_1=5,a_2=4,a_3=3$;[/*] $a_n \ge n$ với mọi $n=1,2,3, \cdots$; Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $n>m$ thoả mãn $a_n \ne n+1$.
