ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 CHUYÊN HẠ LONG - QUẢNG NINH NĂM 2011 Câu 1: a) Giải phương trình: $\sqrt{3x+1} - \sqrt{6-x} + 3x^2 - 14x - 8 = 0$ b) Giải hệ phương trình : $ \begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$ Câu 2: a) Cho $a, b, c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}$ b) Cho $a, b, c, d$ là bốn số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d} \ge 0$. Câu 3: Cho $x, y$ là hai số nguyên dương thỏa mãn $x^2+y^2+1$ chia hết cho $xy$. Chứng minh rằng $$\frac{x^2+y^2+1}{xy}=3$$. Câu 4: Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $G$ là trọng tâm tam giác. Giả sử $\widehat{OIA}=90^0$. Chứng minh rằng: $IG$ $\parallel$ $BC$. Chứng minh rằng: $\widehat{BAC} \le 60^0$ Câu 5: Một cửa hàng phở có $4$ loại phở: phở bò, phở gà, phở ngan, phở tôm. Một nhóm có $7$ người vào ăn phở và gọi $7$ bát phở. Hỏi họ có bao nhiêu cách gọi phở cho $7$ người trên?
